Уровень В 168. В АВС угол С- прямой, АС = 8 см, ВС = 6 см. а) На одном чертеже постройте АВ1С1 и АВ2С2 подобные АВС, с коэффициентами подобия соответственно равными 1/4 и 3/4 б) Найдите длины медиан С1М1 и СМИ построенных треугольников.
Чтобы рисунок соответствовал условию задачи, воспользуемся для его построения окружностями с центром в точке А и радиусом АВ, и с центром в точке D и радиусом СD. Обозначим середину ВС буквой М. Нужно доказать, что биссектриса угла D пересекает ВС в точке М. По условию АD=АВ+СD, следовательно, АВ=АК, КD=СD Треугольник АВК равнобедренный, АЕ - биссектриса, ⇒ АЕ- ещё и высота, и медиана. Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена⇒ угол ВЕА=∠АЕК=90º. Δ АDС равнобедренный, биссектриса DН- его высота и медиана. ⇒ угол СНD=∠КНD=90º. В треугольнике КВС отрезки ВМ=МС по условию КН=НС, т.к. DН - медиана, ВЕ=ЕК, т.к. АЕ - медиана⇒ МН - средняя линия. и ЕМ- средняя линия ЕМ=КН, МН=ЕК, ⇒ МН||ВК и ЕМ||КН ∠МЕК=90º как смежный с ∠AEK, поэтому ∠ЕМН=90º как соответственный ∠ВЕМ при прямых MH||ВК и секущей МЕ. Четырехугольник ЕМНК - прямоугольник. . Через одну точку на прямой можно провести только один перпендикуляр. ⇒ НМ - продолжение DН. ⇒ Биссектриса DМ угла D проходит через середину стороны ВС, ч.т.д.
Однородный шар диаметром 5 см имеет массу 500 граммов. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 3 см? ответ дайте в граммах.
Задача В13 (1806)
Решение
Для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения плотности тела:
Плотность равна отношению массы тела к его объему:
Р = m / V
Выразим из формулы для нахождения плотности массу:
m = P · V
Обратите внимание на то, что плотность тел из одинакового материала равна.
Так же для решения задачи нужно знать формулу для нахождения объема шара:
V = 4/3πR2 = 4/3π(D/2)2
Запишем, чему равна масса для первого шара:
m1 = P · V1 = P · 4/3π(D1)2 = P · 4/3 ·π · 2,5 2 = 25/3 · P · π = 500 грамм
Выразим из массы первого шара P · π:
25/3 · P · π = 500
P · π = 500 : (25/3) = 60
Запишем, чему равна масса для второго шара:
m2 = P · V2 = P · 4/3π(D2) 2 = P · 4/3 ·π · 1,52 = 3 · P · π =3 · 60 = 180 граммов масса второго шара (с диаметром 3 см).
и с центром в точке D и радиусом СD.
Обозначим середину ВС буквой М.
Нужно доказать, что биссектриса угла D пересекает ВС в точке М.
По условию АD=АВ+СD, следовательно, АВ=АК, КD=СD
Треугольник АВК равнобедренный, АЕ - биссектриса, ⇒
АЕ- ещё и высота, и медиана.
Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена⇒
угол ВЕА=∠АЕК=90º.
Δ АDС равнобедренный, биссектриса DН- его высота и медиана. ⇒
угол СНD=∠КНD=90º.
В треугольнике КВС отрезки ВМ=МС по условию
КН=НС, т.к. DН - медиана,
ВЕ=ЕК, т.к. АЕ - медиана⇒
МН - средняя линия. и ЕМ- средняя линия
ЕМ=КН, МН=ЕК, ⇒
МН||ВК и
ЕМ||КН
∠МЕК=90º как смежный с ∠AEK, поэтому
∠ЕМН=90º как соответственный ∠ВЕМ при прямых MH||ВК и секущей МЕ.
Четырехугольник ЕМНК - прямоугольник. .
Через одну точку на прямой можно провести только один перпендикуляр. ⇒
НМ - продолжение DН. ⇒
Биссектриса DМ угла D проходит через середину стороны ВС, ч.т.д.
Условие
Однородный шар диаметром 5 см имеет массу 500 граммов. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 3 см? ответ дайте в граммах.
Задача В13 (1806)
Решение
Для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения плотности тела:
Плотность равна отношению массы тела к его объему:
Р = m / V
Выразим из формулы для нахождения плотности массу:
m = P · V
Обратите внимание на то, что плотность тел из одинакового материала равна.
Так же для решения задачи нужно знать формулу для нахождения объема шара:
V = 4/3πR2 = 4/3π(D/2)2
Запишем, чему равна масса для первого шара:
m1 = P · V1 = P · 4/3π(D1)2 = P · 4/3 ·π · 2,5 2 = 25/3 · P · π = 500 грамм
Выразим из массы первого шара P · π:
25/3 · P · π = 500
P · π = 500 : (25/3) = 60
Запишем, чему равна масса для второго шара:
m2 = P · V2 = P · 4/3π(D2) 2 = P · 4/3 ·π · 1,52 = 3 · P · π =3 · 60 = 180 граммов масса второго шара (с диаметром 3 см).
ответ: 180 граммов