Пусть данный нам угол будет не "фи", а β. (для простоты написания).
Проведем перпендикуляры АР и СР к стороне ВS в гранях ASB и CSB соответственно. Угол между двумя соседними боковыми гранями - это угол АРС по определению. Проведем высоту ВК основания АВС. По теореме о трех перпендикулярах РК перпендикулярна АС и является высотой равнобедренного (АР=СР, так как пирамида правильная) треугольника АРС и делит угол АРС пополам.
В прямоугольном треугольнике КРС Sinβ = KC/PC =>
PC = KC/Sinβ = m/2Sinβ (так как КС = (1/2)·АС = m/2).
В прямоугольном треугольнике СРВ:
SinB = PC/BC = (m/2Sinβ)/m = 1/(2Sinβ).
Тогда в прямоугольном треугольнике HSB катет
SH = НВ*tgB.
tgB = SinB/CosB = SinB/(√(1-Sin²B)). =>
SH = (m/2)*SinB/(√(1-Sin²B)).
Площадь боковой грани равна Sгр = (1/2)*ВС*HS или
Sгр = (m²/8)*(1/Sinβ)/(√(1-(1/(2Sinβ))²) = m²/(4√Sin²β -1). Тогда
Sбок = (3/4)*m²/(√Sin²β -1).
Объяснение:
Пусть данный нам угол будет не "фи", а β. (для простоты написания).
Проведем перпендикуляры АР и СР к стороне ВS в гранях ASB и CSB соответственно. Угол между двумя соседними боковыми гранями - это угол АРС по определению. Проведем высоту ВК основания АВС. По теореме о трех перпендикулярах РК перпендикулярна АС и является высотой равнобедренного (АР=СР, так как пирамида правильная) треугольника АРС и делит угол АРС пополам.
В прямоугольном треугольнике КРС Sinβ = KC/PC =>
PC = KC/Sinβ = m/2Sinβ (так как КС = (1/2)·АС = m/2).
В прямоугольном треугольнике СРВ:
SinB = PC/BC = (m/2Sinβ)/m = 1/(2Sinβ).
Тогда в прямоугольном треугольнике HSB катет
SH = НВ*tgB.
tgB = SinB/CosB = SinB/(√(1-Sin²B)). =>
SH = (m/2)*SinB/(√(1-Sin²B)).
Площадь боковой грани равна Sгр = (1/2)*ВС*HS или
Sгр = (m²/8)*(1/Sinβ)/(√(1-(1/(2Sinβ))²) = m²/(4√Sin²β -1). Тогда
Sбок = 3*Sгр = (3/4)*m²/(√Sin²β -1).