У рівнобедреному трикутнику бічна сторона поділяеться точкою дотику вписаного кола у відношенні 5 : 7, починаючи від основи. Знайдіть периметр трикутника, якщо основа дорівнює 10 см.

Площадь сектора выражена формулой
S=а πR²:360° , где а - центральный угол сектора

Угол при центре окружности у этого сектора равен 360:8=45°
45°πR²:360°=2π
45°R²:360°=2
45°R²=2∙ 360°
R²=720:45
R²=16см²
R=4 см
Высота каждого из 8 треугольников, составляющих поверхность правильного восьмиугольника, проведенная из угла к радиусу окружности, является стороной равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу.

Найдем эту высоту по формуле диагонали квадрата, т.к. этот треугольник- половина квадрата.
d=a√2, где а - сторона этого треугольника, а d - гипотенуза, и равна она радиусу окружности R=4.
4=а√2
а=4:√2= 2√2см
Найдем площадь одного треугольника из восьми
S=( 4∙2√2):2=4√2 см²
Площадь восьми таких треугольников равна
S=8∙4√2=32√2см²

Дано: АВС - равнобедренный тр-к, АС = 18см, АВ = ВС = 15см

Найти: R и r

Основание равнобедренного тр-ка АС = а = 18см, тогда половина основания 9см. Боковая сторона АВ = ВС = b = 15см. Найдём высоту h, опущенную на основание, по теореме Пифагора:.
h² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144
h = 12(см)

Найдём площадь тр-ка S и полупериметр р
S = 0,5a·h = 0,5·18·12 = 108(см²)
р = (18 + 2·15):2 = 48:2 = 24(см)
 
Радиус описанной окружности
R = а·b·b/(4S) = 18·15·15/(4·108) = 4050:432 = 9,375(см)
Радиус писанной окружности
r = S/p = 108/24 = 4,5(см)
 
ответ: R = 9,375 см, r = 4,5см