У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведено висоту ВD. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо ВD = 7 см, а периметр трикутника АВD дорівнює 34 см.​

Проекции точек D и С на плоскость а - это перпендикуляры DD1 и СС1, опущенные из точек D и С на плоскость а. Соединив точки А, В, С1 и D1 получим проекцию нашего ромба АВСD  на плоскость а. Это будет параллелограмм АВС1D1 с противоположными сторонами АВ, С1D1 и ВС1, АD1 . В прямоугольном треугольнике АНD DH=AD*Sinф. Если Sinф=√5/4, то DН=9*√5/4. 
Угол между плоскостями - это линейный угол, образованный сечением этих плоскостей плоскостью, перпендикулярной к их линии пересечения. 
В нашем случае это угол DHD1, где DH и  HD1 - перпендикуляры к АВ. В прямоугольном треугольнике DHD1 с прямым углом D1 катет HD1 равен HD1=HD*Cosβ. Cosβ=√(1-sin²β)=√(1-1/16)=√15/4. Тогда HD1=((9*√5)/4)*(√15/4)=45√3/16. Площадь параллелограмма равна S=a*h, где а - сторона параллелограмма, а h - высота, опущенная на эту сторону. В нашем случае а=9, h=45√3/16.  
S=9*45√3/16=405√3/16 

1. пусть апофема l и угол между апофемой и плоскостью основания в 30°
тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности,
r = l*cos(30°) = l√3/2
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30)
r/(a/2) = tg(30°) = 1/√3
2r√3=a
2*l√3/2*√3=a
3l = a
l = 1/3a
Апофема равна одной трети основания
Площадь боковой поверхности
S = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^2
1/2 a^2 = 50
a^2 = 100
a = 10 см
2
длина малой диагонали основания по теореме косинусов
l^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5
l = √5
Если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипеда
l*h = √15
h = √3
Объём параллелепипеда
V=1*2√2*sin(45)*h = 2√3