Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен углу между образующей и радиусом основания, проведенного к данной образующей. Площадь боковой поверхности конуса: pi*R*l, площадь основания - pi*R^2. Поскольку площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания, то pi*R*l = 2*pi*R^2. упрощаем уравнение: l = 2R. Из рисунка CB = 2OB. Из прямоугольного треугольника COB: угол, который лежит против катета, который в два раза меньше гипотенузы, равен 30 градусов. OB - катет, CB - гипотенуза, следовательно, угол BOC = 30 градусов. Искомый угол CBO = 90 - 30 = 60 градусов.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.
A1H - перпендикуляр к плоскости (AB1D1), ∠A1AH - искомый угол.
1)
В треугольнике AB1D1 проведем высоту AK, AK⊥B1D1
AA1⊥(A1B1D1) => AA1⊥B1D1
Следовательно B1D1⊥(AA1K) и (AB1D1)⊥(AA1K)
Перпендикуляр A1H лежит в плоскости (AA1K)
(то есть в плоскости, проходящей через высоту AK)
Рассуждение верно для всех сторон △АB1D1, следовательно H - точка пересечения высот.
Рассмотрим △AB1D1, H - ортоцентр, найдем AH.
AD1 =√5, AB1 =√2 (т Пифагора)
Треугольник равнобедренный, высота к основанию является медианой.
AM =AB1/2 =√2/2
D1M =√(AD1^2 -AM^2) =√(5 -1/2) =3/√2
△AHM~△D1AM => AH/AM =AD1/D1M => AH =√2/2 *√5 *√2/3 =√5/3
cos(A1AH) =AH/AA1 =√5/3, ∠A1AH =arccos(√5/3)
2)
Найдем объем тетраэдра A1AB1D1
V= 1/3 *A1D1 *S(AA1B1) =1/3 *2 *1/2 =1/3
S(AB1D1) =1/2 *√2 *3/√2 =3/2
V= 1/3 *A1H *S(AB1D1) =1/3 *A1H *3/2
Приравниваем объемы, A1H =2/3
sin(A1AH) =A1H/AA1 =2/3, ∠A1AH =arcsin(2/3)