У прямокутному паралелепіпеді сторони основи AD і AB дорівнюють 3см і 8см, а кут між ними 60 градусів. Висота паралелепіпеда 5см. знайти площу діагонального перерізу DD1B1B
Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок). Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ ребро основания AB= 8√3, а ребро AA₁=7. Найдите: а) Площадь повернхности призмы б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C
Площадь призмы состоит из суммы площадей двух оснований (правильных треугольников) и площади боковой поверхности. Все стороны оснований равны, все боковые ребра равны между собой. S полн=2 S АВС+ 3 S АА₁С₁С S △ АВС=(а²√3):4 S △АВС=(АС²√3):4=( 8√3)²√3):4=48√3 см² 2*S △ АВС=96√3 см² S АА₁С₁С,=АС*СС₁=8√3*7=56√3 3*S АА₁С₁С=168 √3 S полн=168√3+96√3=264 √3см² -------------------- б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C - это тангенс угла А₁МН, образованного АН и высотой А₁М треугольника ВА₁С
Тангенс угла - отношение катета, противолежащего углу, к катету, прилежащему к этому углу.
tg НМА1=НА1:МН А₁Н найдем из треугольника А₁В1С1:А1Н=А1В1* sin (60)=(8√3* √3):2 А1Н=12 см tg угла А₁МН=12:7 ≈ 1,714 ----------------------------------------------------------------------------- 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка О- центроснования, SO=27, SC=45. Найдите площадь поверхности пирамиды. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. Площадь полной поверхности пирамиды - это сумма площади основания и ее четырех граней. Площадь основания АВСD=АВ*СВ=AB² AB=CO√2 CO=√(SC²-SO²)=√(45²-27²)= √(2025-729)=36 СB=CO√2=36√2 SABCD=( 36√2)²=2592 S ᐃ SBA=SH*AB:2 OH=CB:2=18√2 SH=√(SO²+OH²) OH=CB:2=18√2 SН=√(27²+(18√2)²)=√(729+648)=√1377=9 √17 S ᐃ SBA=9 √17*18√2=162 √34 S бок=4*162 √34=648 √34 Sполн=648 √34+2592= 648(√34+4)
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок).
Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
Найдите:
а) Площадь повернхности призмы
б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C
Площадь призмы состоит из суммы площадей двух оснований (правильных треугольников) и площади боковой поверхности.
Все стороны оснований равны, все боковые ребра равны между собой.
S полн=2 S АВС+ 3 S АА₁С₁С
S △ АВС=(а²√3):4
S △АВС=(АС²√3):4=( 8√3)²√3):4=48√3 см²
2*S △ АВС=96√3 см²
S АА₁С₁С,=АС*СС₁=8√3*7=56√3
3*S АА₁С₁С=168 √3
S полн=168√3+96√3=264 √3см²
--------------------
б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C - это тангенс угла А₁МН, образованного АН и высотой А₁М треугольника ВА₁С
Тангенс угла - отношение катета, противолежащего углу, к катету, прилежащему к этому углу.
tg НМА1=НА1:МН
А₁Н найдем из треугольника А₁В1С1:А1Н=А1В1* sin (60)=(8√3* √3):2
А1Н=12 см
tg угла А₁МН=12:7 ≈ 1,714
-----------------------------------------------------------------------------
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка О- центроснования,
SO=27, SC=45.
Найдите площадь поверхности пирамиды. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат.
Площадь полной поверхности пирамиды - это сумма площади основания и ее четырех граней.
Площадь основания АВСD=АВ*СВ=AB²
AB=CO√2
CO=√(SC²-SO²)=√(45²-27²)= √(2025-729)=36
СB=CO√2=36√2
SABCD=( 36√2)²=2592
S ᐃ SBA=SH*AB:2
OH=CB:2=18√2
SH=√(SO²+OH²)
OH=CB:2=18√2
SН=√(27²+(18√2)²)=√(729+648)=√1377=9 √17
S ᐃ SBA=9 √17*18√2=162 √34
S бок=4*162 √34=648 √34
Sполн=648 √34+2592= 648(√34+4)