У прямій трикутній призмі сторони основ дорівнюють 13 см; 14 см; 15 см. Через бічне ребро призми і середню за довжиною висоту основи проведено переріз, площа якого дорівнює 60 см2. Знайти об'єм призми.
1. Используем теорему о пропорциональных отрезках (если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне).
2. Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок, соединяющий середины его сторон P и M, это средняя линия данного треугольника, она равна половине его основания, т.е. 1/2 диагонали АС. Аналогично для треугольника BCD отрезок MN это средняя линия, и он также равен полочине основания, т.е. диагонали BD.
Рассуждая аналогично для треугольников ACD и ABD находим, периметр MNPQ = 1/2 * АС + 1/2 АС + 1/2 BD + 1/2 BD = AC + BD = 18
У четырехугольника MNPQ противоположные стороны равны и параллельны (По свойству средних линий рассмотренных выше треугольников), значит он является параллелограммом по определению.
3. Рассмотрим ΔABC. ∠BCA =∠ CAD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых, ∠BAC = ∠CAD по условию задачи. Вывод: ∠BAC = ∠BCA, а это углы при основании AC ΔABC. ⇒ Данный треугольник равнобедренный. KM является его средней линией. ⇒ AB = BC = 14.
KL = 7 + 4 + 7 = 18. Поскольку это по условиям задачи среджняя линия трапеции, она равна полусумме оснований трапеции. Находим большее основание:
Ради интереса заглянула в то самое решение, которое Вы назвали "ужасным". Оно вполне себе верное и даже красивое, но я понимаю, почему оно Вам не нравится: там нет никаких объяснений. Мой решения оказался аналогичным, но со всеми объяснениями.
Сначала доказываем подобие треугольников AEB и CKB. Они подобны по двум углам: B - общий угол, а углы AEB и CKB прямые. Из этого подобия получаем отношение BE/BK = AB/BC. Домножая обе части на BK/AB, получаем: BE/AB = BK/BC. А это уже отношение сторон треугольников BEK и BAC. Учитывая, что в этих треугольниках есть еще и общий угол ABC, получаем, что они также подобны.
Ищем коэффициент подобия. Если загляните в школьный учебник, то увидите: квадрат коэффициента подобия равен отношения площадей подобных треугольников.
Из подобия треугольников получаем отношения сторон AC и KE, равное коэффициенту k. Так как АС известно, то мы легко находим КЕ.
Дальше используем определение косинуса в треугольнике АЕВ. Прилежащий катет - это сторона BE, гипотенуза - сторона AB. Степень -1 в моем решении появилась из-за того, что я брала k = AB/BE (то есть то, как стороны большего треугольника относятся к сторонам меньшего), а при вычислении косинуса появилась дробь BE/AB.
Зная косинус, легко получаем синус, используя основное тригонометрическое тождество: (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 => cos(x) = sqrt(1 - (sin(x))^2).
Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: R = a/(2sin(x)), - где a - сторона треугольника, x - угол, лежащий против этой стороны.
ответ: 1. 10
2. 18
3. Основания 14 и 22. Периметр 64.
Объяснение:
1. Используем теорему о пропорциональных отрезках (если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне).
Составляем пропорцию: 3/6 = 5 /х,откуда х = 5*6 / 3 = 10
2. Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок, соединяющий середины его сторон P и M, это средняя линия данного треугольника, она равна половине его основания, т.е. 1/2 диагонали АС. Аналогично для треугольника BCD отрезок MN это средняя линия, и он также равен полочине основания, т.е. диагонали BD.
Рассуждая аналогично для треугольников ACD и ABD находим, периметр MNPQ = 1/2 * АС + 1/2 АС + 1/2 BD + 1/2 BD = AC + BD = 18
У четырехугольника MNPQ противоположные стороны равны и параллельны (По свойству средних линий рассмотренных выше треугольников), значит он является параллелограммом по определению.
3. Рассмотрим ΔABC. ∠BCA =∠ CAD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых, ∠BAC = ∠CAD по условию задачи. Вывод: ∠BAC = ∠BCA, а это углы при основании AC ΔABC. ⇒ Данный треугольник равнобедренный. KM является его средней линией. ⇒ AB = BC = 14.
KL = 7 + 4 + 7 = 18. Поскольку это по условиям задачи среджняя линия трапеции, она равна полусумме оснований трапеции. Находим большее основание:
1/2 AD + 1/2BC = 18
1/2AD + 7 = 18
AD = 22
Периметр трапеции равен 22 + 14 + 14 + 14 = 64
Решение во вложении.
Ради интереса заглянула в то самое решение, которое Вы назвали "ужасным". Оно вполне себе верное и даже красивое, но я понимаю, почему оно Вам не нравится: там нет никаких объяснений. Мой решения оказался аналогичным, но со всеми объяснениями.
Сначала доказываем подобие треугольников AEB и CKB. Они подобны по двум углам: B - общий угол, а углы AEB и CKB прямые. Из этого подобия получаем отношение BE/BK = AB/BC. Домножая обе части на BK/AB, получаем: BE/AB = BK/BC. А это уже отношение сторон треугольников BEK и BAC. Учитывая, что в этих треугольниках есть еще и общий угол ABC, получаем, что они также подобны.
Ищем коэффициент подобия. Если загляните в школьный учебник, то увидите: квадрат коэффициента подобия равен отношения площадей подобных треугольников.
Из подобия треугольников получаем отношения сторон AC и KE, равное коэффициенту k. Так как АС известно, то мы легко находим КЕ.
Дальше используем определение косинуса в треугольнике АЕВ. Прилежащий катет - это сторона BE, гипотенуза - сторона AB. Степень -1 в моем решении появилась из-за того, что я брала k = AB/BE (то есть то, как стороны большего треугольника относятся к сторонам меньшего), а при вычислении косинуса появилась дробь BE/AB.
Зная косинус, легко получаем синус, используя основное тригонометрическое тождество: (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 => cos(x) = sqrt(1 - (sin(x))^2).
Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: R = a/(2sin(x)), - где a - сторона треугольника, x - угол, лежащий против этой стороны.
Вот и все решение. ответ: 3/4 см.