Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине . В условии не сказано, параллельно какой из сторон проведена средняя линия MN, поэтому может быть два варианта решения. 1 вариант: MN параллельна основанию RS, RF=SF, RS+2*RF=30 (дано). Тогда RS=8, а RF=(30-8):2=11. 2 вариант: MN параллельна боковой стороне RF. Тогда RF=SF=8, а RS=30-2*8=14.
Оба варианта удовлетворяют условию существования треугольника (теорема о неравенстве), так как большая сторона меньше суммы двух других сторон.
Вариант решения. Пусть S - площадь треугольника АВС. Необходимо найти отношение площадей треугольника АРМ и четырехугольника ВРМС. Сделаем рисунок и соединим В и М отрезком ВМ. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. Высота ∆ АВМ и ∆ АВС одна и та же. Основания их относятся как АМ:АС = 3:(3+5) , Площадь ∆ АВМ равна 3/8 площади ∆ АВС, т.е. ³/₈S На том же основании площадь ∆ АРМ равна 5/9 площади ∆ АВМ ( у них одна и та же высота из М к АВ) и равна ⁵/₉ от ³/₈S Площадь ∆ АРМ=¹⁵/₇₂S=⁵/₂₄S Площадь четырехугольника ВРМС равна S(ABC) - ⁵/₂₄(S(ABC) =¹⁹/₂₄ S(∆ ABC) Площади ∆ АРМ и четырехугольника ВРМС относятся как (⁵/₂₄S):¹⁹/₂₄ S)=5:19
1 вариант:
MN параллельна основанию RS, RF=SF, RS+2*RF=30 (дано). Тогда
RS=8, а RF=(30-8):2=11.
2 вариант:
MN параллельна боковой стороне RF. Тогда
RF=SF=8, а RS=30-2*8=14.
Оба варианта удовлетворяют условию существования треугольника (теорема о неравенстве), так как большая сторона меньше суммы двух других сторон.
Пусть S - площадь треугольника АВС.
Необходимо найти отношение площадей треугольника АРМ и четырехугольника ВРМС.
Сделаем рисунок и соединим В и М отрезком ВМ.
Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.
Высота ∆ АВМ и ∆ АВС одна и та же.
Основания их относятся как АМ:АС = 3:(3+5) ,
Площадь ∆ АВМ равна 3/8 площади ∆ АВС, т.е. ³/₈S
На том же основании площадь ∆ АРМ равна 5/9 площади ∆ АВМ ( у них одна и та же высота из М к АВ) и равна ⁵/₉ от ³/₈S
Площадь ∆ АРМ=¹⁵/₇₂S=⁵/₂₄S
Площадь четырехугольника ВРМС равна
S(ABC) - ⁵/₂₄(S(ABC) =¹⁹/₂₄ S(∆ ABC)
Площади ∆ АРМ и четырехугольника ВРМС относятся как
(⁵/₂₄S):¹⁹/₂₄ S)=5:19