1. Если построить ВСЕ ТРИ треугольника, образованные высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание, то это будут прямоугольные треугольники с равными острыми углами, поскольку грани равнонаклонены к основанию. Поэтому равны все апофемы, и - главное - равны их проекции на основание.
То есть проекция вершины пирамиды - это точка, равноудаленная от сторон основания, то есть центр вписанной в основание окружности.
2. В плоскости этого треугольника (можно взять любой из трех, они одинаковые) лежит и отрезок от точки на высоте до стороны основания, заданный в условии, - этот отрезок соединяет эту точку с вершиной апофемы, и образуется равнобедренный треугольник, внешний угол при вершине у которого равен π/2 - β (я считаю, что угол β - это угол между этим отрезком и плоскостью основания, в условии тут неточность - если задан угол с боковой гранью, то β' <=> π/4 - β/2 ). Поэтому острые углы этого равнобедренного треугольника равны π/4 - β/2, причем один из них - это угол между апофемой и высотой пирамиды.
Поэтому радиус вписанной в основание окружности равен
r = h*tg(π/4 - β/2);
3. С другой стороны, катеты прямоугольного треугольника в основании равны
извините что то не могу добавить рисунок! треугольники ВОС и АОД подобны где точка о пересечения диагоналей трапеций и кэоффициент подобия равен 34/36 = 17/18 , так как по условию трапеция прямоугольная по тоеоме пифагора обозначим АО за х тогда ОС = 17/18 *х
как известно Высота прямоугольного треугольника -среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу,
34^2=x*17/18 *x
x=6√34
значит другая диагональ равна 6√34+6√34*17/18, теперь сами основания
по теореме пифагора нижнее равна
(6√34)^2 +36^2 =√2520
верхнее
34^2+ (6√34*17/18)^2 ~ 2247
что то диагональ какие то может неправильно написали!
1. Если построить ВСЕ ТРИ треугольника, образованные высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание, то это будут прямоугольные треугольники с равными острыми углами, поскольку грани равнонаклонены к основанию. Поэтому равны все апофемы, и - главное - равны их проекции на основание.
То есть проекция вершины пирамиды - это точка, равноудаленная от сторон основания, то есть центр вписанной в основание окружности.
2. В плоскости этого треугольника (можно взять любой из трех, они одинаковые) лежит и отрезок от точки на высоте до стороны основания, заданный в условии, - этот отрезок соединяет эту точку с вершиной апофемы, и образуется равнобедренный треугольник, внешний угол при вершине у которого равен π/2 - β (я считаю, что угол β - это угол между этим отрезком и плоскостью основания, в условии тут неточность - если задан угол с боковой гранью, то β' <=> π/4 - β/2 ). Поэтому острые углы этого равнобедренного треугольника равны π/4 - β/2, причем один из них - это угол между апофемой и высотой пирамиды.
Поэтому радиус вписанной в основание окружности равен
r = h*tg(π/4 - β/2);
3. С другой стороны, катеты прямоугольного треугольника в основании равны
a = r*(1 + tg(α/2)); b = r*(1 + ctg(α/2));
откуда площадь основания
S = r^2*(1 + tg(α/2))*(1 + ctg(α/2))/2 = r^2*(1 + 1/sin(α)) = h^2*(1 + 1/sin(α))*(tg(π/4 - β/2))^2 = h^2*(1 + 1/sin(α))*(1 - sin(β))/(1 + sin(β));
Объем пирамиды равен
V = S*h/3 = (h^3/3)*(1 + 1/sin(α))*(1 - sin(β))/(1 + sin(β));
извините что то не могу добавить рисунок! треугольники ВОС и АОД подобны где точка о пересечения диагоналей трапеций и кэоффициент подобия равен 34/36 = 17/18 , так как по условию трапеция прямоугольная по тоеоме пифагора обозначим АО за х тогда ОС = 17/18 *х
как известно Высота прямоугольного треугольника -среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу,
34^2=x*17/18 *x
x=6√34
значит другая диагональ равна 6√34+6√34*17/18, теперь сами основания
по теореме пифагора нижнее равна
(6√34)^2 +36^2 =√2520
верхнее
34^2+ (6√34*17/18)^2 ~ 2247
что то диагональ какие то может неправильно написали!