Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. В нашем случае прямые ОD и СЕ - скрещивающиеся. Треугольник АВС - правильный. Проведем медиану АН. Это и высота треугольника. Соединим точки Е и Н. Четырехугольник ОDЕН - параллелограмм по первому признаку: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом. В нашем случае ОН=DE, так как DЕ-средняя линия треугольника АРО и DE=(1/2)*АО. Но АН -медиана и АО=(2/3)АН (по свойству медиан), значит DE=(2/3)*(1/2)*АН=(1/3)*АН, ОН=(1/3)*АН (так как АН - медиана). Итак, ОН=DЕ и DЕ параллельна ОН, так как DЕ - средняя линия треугольника АРО (дано) и, следовательно, параллельна АО. Итак, ОDЕН - параллелограмм и ОD параллельна и равна НЕ. Тогда искомый угол межу прямыми ОD и СЕ - это угол СЕН. В прямоугольном треугольнике СЕН (<Н=90°) тангенс угла СЕН равен отношению СН/ЕН. СН=а/2 (половина стороны ВС тетраэдра), и ЕН=OD=а/2, так как ОD - медиана прямоугольного треугольника АОР, проведенная из вершины прямого утла. Таким образом, Тgα=1, а сам искомый угол равен 45°. Это ответ.
МВ=15, МС=24, МД=20
Так как МВ - наклонная, а АМ⊥АВ , то АВ - проекция наклонной МВ на пл. АВСД. Причём, АВ⊥ВС. По теореме о трёх перпендикулярах тогда и наклонная МВ⊥ВС ⇒ ΔМВС - прямоугольный, ∠МВС=90° ⇒
по теореме Пифагора : ВС²=МС²-МВ²=24²-15²= 351 , ВС=√351 .
АД=ВС=√351 .
Аналогично, можно доказать, что МД⊥СД
(СД⊥АД , АД - проекция МД ⇒ МД⊥СД) .
ΔМДС - прямоугольный , ∠МДС=90° .
СД²=МС²-МД²=24²-20²=176 , СД=√176 .
АВ=СД=√176 .
ΔАМВ: ∠МАВ=90° , АМ²=МВ²-АВ²=15²-176=225-176=49 .
АМ=√49=7 .
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
В нашем случае прямые ОD и СЕ - скрещивающиеся.
Треугольник АВС - правильный. Проведем медиану АН. Это и высота треугольника. Соединим точки Е и Н. Четырехугольник ОDЕН - параллелограмм по первому признаку: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом. В нашем случае ОН=DE, так как DЕ-средняя линия треугольника АРО и DE=(1/2)*АО. Но АН -медиана и АО=(2/3)АН (по свойству медиан), значит DE=(2/3)*(1/2)*АН=(1/3)*АН, ОН=(1/3)*АН (так как АН - медиана). Итак, ОН=DЕ и DЕ параллельна ОН, так как DЕ - средняя линия треугольника АРО (дано) и, следовательно, параллельна АО. Итак, ОDЕН - параллелограмм и ОD параллельна и равна НЕ. Тогда искомый угол межу прямыми ОD и СЕ - это угол СЕН. В прямоугольном треугольнике СЕН (<Н=90°) тангенс угла СЕН равен отношению СН/ЕН. СН=а/2 (половина стороны ВС тетраэдра), и ЕН=OD=а/2, так как ОD - медиана прямоугольного треугольника АОР, проведенная из вершины прямого утла. Таким образом, Тgα=1, а сам искомый угол равен 45°. Это ответ.