Треугольник авс - прямоугольный с прямым углом с. биссектриса bl и медиана см пересекаются в точке к. найдите отношение lk/bk, если известно, что мк/ск =5/6
На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы
l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)
Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.
По условию
5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2;
АВ/ВС = 10/6 = 5/3.
Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).
Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).
Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим
Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2.
В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;
Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду
KL/BK = 1/(2*k + 1);
при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) = 1/(8/3) = 3/8;
В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник. Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).
Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;
KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;
Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.
На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы
l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)
Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.
По условию
5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2;
АВ/ВС = 10/6 = 5/3.
Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).
Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).
Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим
ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);
Аналогично для треугольника АВС
BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);
Делим одно на другое, получаем
ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);
Дальше - очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа)
ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);
KL/BK = a/(a + c);
При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;
Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2.
В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;
Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду
KL/BK = 1/(2*k + 1);
при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) = 1/(8/3) = 3/8;
В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник. Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).
Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;
KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;
Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.