Треугольник ABC, AB-основание=10, AC=6, BC=8. Найти угол С.

треугольник АВС, АС основание, ВН высота на АС, АМ - медиана на ВС, ВМ=МС, СК биссектриса угла С, МН-отрезо, О - пересечение отрезка и биссектрисы, КО=ОС, ОН=ОМ, треугольник МНС прямоугольный, МН-медиана в этом треугольнике=1/2 гипотенузы ВС=ВМ=МС, треугольник МНС равнобедренный, МН=МС, но СО биссектриса=медиане (ОН=ОМ). значит треугольник равносторонний, все углы=60, ОМ- средняя линия треугольника КВС и параллельна ВК, тогда уголНМС=60=уголВ как соответственные, уголС=180-60-60=60, треугольник АВС равносторонний

Опустим из С высоту СН на АВ. 
Треугольник СНВ - прямоугольный, ⇒ ∠НСВ=60°
СН противолежит углу 30° ⇒
СН=СВ:2 по свойству катета против угла 30°
Так как и СD=СВ:2,  СН=СD⇒
треугольник НСD -равнобедренный.
Т.к. угол НСD =60°, углы при основании НD равны. Т,е. СНD=СDН=60°
Следовательно, треугольник СНD- равносторонний, НD=СН
Угол АСН=105°-60°=45°
Отсюда угол САН=90°-45°=45°
Δ АСН- равнобедренный, АН=СН=НD
Угол АНD=90°+60°=150°
Угол DАН=(180°-150°):2=15° ⇒
Угол ВАD=15°
-------
Для наглядности на приложенном рисунке все равные углы обозначены одинаковым цветом.