Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Боковое ребро равно 2 см и образует со смежными сторонами основания углы в 60°. Найти объем параллелепипеда.
* * *
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. V=S*h
Т.к. основание - прямоугольник, его площадь равна произведению сторон. S=4*6=24 см² Высоту параллелепипеда нужно найти.
Сделаем рисунок. Ребро АА₁ образует со смежными сторонами основания углы А₁АМ и А1АК в 60° .⇒ высоты смежных боковых граней равны. А₁М=А₁К=АА1•sin60=√3 см. АК=АМ=АА1•cos60°=2•1/2=1 см.
Высоты боковых граней – наклонные к плоскости основания, и, так как они равны, равны и их проекции на АВСD. По т. о 3-х перпендикулярах НМ⊥АD, НК⊥АВ. МН=КН=АМ=АК=1. АМНК - квадрат. Перпендикуляр А1Н к основанию АВСD – высота параллелепипеда Из ∆ А1НК по т. Пифагора А1Н=√(A1K²-HK²)=√(3-1)=√2 Объем параллелепипеда V=S•H=24•√2=24√2 ед. объема.
Три стороны одинаковые, AB = BC = CD. Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD. Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник. Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма). Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета). Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа). Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b. Получаем систему { a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD) { a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD) { (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD) { ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC) Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение 2y - 2b = 0 b = y Подставляем { 3a + 2b = 180 { a + 4b = 180 Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение 2a - 2b = 0 a = b То есть все три угла равны друг другу a = b = y 3a + 2a = 5a = 180 a = b = y = 180/5 = 36 градусов. Самый большой угол y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.
Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Боковое ребро равно 2 см и образует со смежными сторонами основания углы в 60°. Найти объем параллелепипеда.
* * *
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. V=S*h
Т.к. основание - прямоугольник, его площадь равна произведению сторон. S=4*6=24 см² Высоту параллелепипеда нужно найти.
Сделаем рисунок. Ребро АА₁ образует со смежными сторонами основания углы А₁АМ и А1АК в 60° .⇒ высоты смежных боковых граней равны. А₁М=А₁К=АА1•sin60=√3 см. АК=АМ=АА1•cos60°=2•1/2=1 см.
Высоты боковых граней – наклонные к плоскости основания, и, так как они равны, равны и их проекции на АВСD. По т. о 3-х перпендикулярах НМ⊥АD, НК⊥АВ. МН=КН=АМ=АК=1. АМНК - квадрат. Перпендикуляр А1Н к основанию АВСD – высота параллелепипеда Из ∆ А1НК по т. Пифагора А1Н=√(A1K²-HK²)=√(3-1)=√2 Объем параллелепипеда V=S•H=24•√2=24√2 ед. объема.
Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD.
Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник.
Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма).
Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета).
Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа).
Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b.
Получаем систему
{ a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD)
{ a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD)
{ (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD)
{ ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC)
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2y - 2b = 0
b = y
Подставляем
{ 3a + 2b = 180
{ a + 4b = 180
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2a - 2b = 0
a = b
То есть все три угла равны друг другу
a = b = y
3a + 2a = 5a = 180
a = b = y = 180/5 = 36 градусов.
Самый большой угол
y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.