Точки A, B, C, O расположены так, что угол AOB = угол BOC = угол AOC = 90 °. Рассмотрены прямые, проходящие через любую из четырех упомянутых точек только двумями . Найдите все пары перепендикулярных прямых.

∠ВСА = ∠ВАС = 30°, так как треугольник равнобедренный,
тогда ∠АВС = 180° - 2·30° = 120°

Проведем ВК - высоту и медиану.
Обозначим ЕС = х, АК = КВ = у. Тогда АВ = х + 8.

По свойству биссектрисы:
ВЕ : ЕС = АВ :АС
8 : x = (x + 8) : (2y)
16y = x(x + 8)
y = x(x + 8)/16

Из прямоугольного треугольника ВКС по определению косинуса:
y = BC·cos∠BCK
y = (x + 8)·√3/2

Из двух уравнений получаем:
x(x + 8)/16 = (x + 8)·√3/2
x/16 = √3/2
x = 8√3

AB = BC = 8 + 8√3 (см)

Sabc = 1/2 · AB · BC · sin120°
Sabc = 1/2 · (8 + 8√3)²·√3/2 = 16√3(√3 + 1)² = 16√3(4 + 2√3) = 32√3(2 + √3) (см²)

 Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, точкой пересечения делятся пополам и  делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами 40:2=20 см, и 30:2=15 см. Стороны ромба - гипотенузы этих треугольников. По т.Пифагора АВ=√(AO²+BO²)=√(20²+15²)=25 см..

  Расстояние от точки до прямой измеряется длиной проведенного между ними перпендикуляра. Наклонная КН - искомое расстояние- перпендикулярна  АВ, ОН - её  проекция. По т. о трех перпендикулярах ОН перпендикулярна АВ и является высотой треугольника АОВ.

 Центр ромба О равноудален от  его сторон. ОН=2S(АОВ):АВ=20•15:25=12 см.

КО перпендикулярен плоскости ромба ABCD ⇒ ∆ KOН  прямоугольный. КН=√(КО²+ОН²)=√(25+144)=13 см