Точки А(-6;3), B(2; 3), C(4; -3), D( -6; -3) – вершины прямоугольной трапеции с основаниями АВ и CD . Найдите длину средней линии и площадь трапеции.

1) Проведем МН параллельно АD  и обозначим ее пересечение с ВК точкой Т. 

МН=АD; ВН=АН

АК=АD/2 

 НТ||АD ⇒ НТ – средняя линия ∆ АВК и равна половине АК, значит, НТ=АD/4⇒

ТМ=AD-AD/4=3АD/4

2) ∠РАК=∠РМТ - накрестлежащие. 

Углы при пересечении ВК и АМ  равны как вертикальные. 

∆ АРК~∆ ТРМ по равным углам.

АК:ТМ=АD/2 : 3АD/4=3/2

Проведем  КЕ параллельно АВ. 

ВЕ=АК, АВ=КЕ⇒

АВЕК - параллелограмм, его площадь равна половине площади АВСD. 

Примем площадь АВСD=Sр (т.е. S parall) Площадь АВЕК=Sр/2

3) Диагональ ВК делит АВЕК пополам. 

Площадь ∆ АВК равна половине площади АВЕК=Sр/4

В ∆ АВК   ВТ=ТК

Примем коэффициент  отношения ТР/РК равным а. Тогда отрезок  ТК=3a+2a=5а 

ВТ=ТК=5а, ВК=ВТ+ТК=10а. 

Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. 

S(АРК):SABK=2/10=1/5

S(АРК)= Sp/4•1/5=1/20 ⇒

Площадь  ∆ АРК относится к площади параллелограмма как 1/20.

        Sabcd = 30 кв. ед.

Объяснение:

Проведем СЕ ║ BD, тогда BCED - параллелограмм, так его противоположные стороны параллельны. Значит,

СЕ = BD = 5

DE = BC = 3

Пусть СН - высота трапеции, тогда СН - и высота треугольника АСЕ.

Площадь трапеции:

Sabcd = 1/2 · (AD + BC) · CH

Площадь треугольника АСЕ:

Sace = 1/2 · AE · CH = 1/2 · (AD + DE) · CH = 1/2 (AD + BC) · CH = Sabcd

Итак, можно найти площадь треугольника АСЕ (в нем известны все три стороны). А площадь трапеции равна площади этого треугольника.

По теореме, обратной теореме Пифагора, проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным:

AE² = AC² + CE²

13² = 12² + 5²

169 = 144 + 25

169 = 169 -  равенство верно, треугольник прямоугольный.

Sace = 1/2 · AC · CE = 1/2 · 12 · 5 = 30

Sabcd = 30 кв. ед.