Точки A(-4:-3), B(-4;5), C(2;5), D(8;-3) - вершины прямоугольной трапеции с основаниями BC и AD. Найдите длину средней линии.

На данном рисунке имеем две пары равных треугольников. Во-первых — QTP и RSP. Треугольники равны по стороне и двум равным прилежащим углам - 2-ой признак (стороны РТ и РS равны по условию, углы РSR и QTP тоже равны по условию, угол QPR у них общий).

Также равны треугольники SMQ и ТМR, что вытекает из равенства двух других треугольников. Углы QSM и RTM равны, по св-ву смежных (если два угла равны, то смежные с ними углы равны). Углы SMQ и TMR равны, как вертикальные. Равенство углов PQT и PRS получаем из равенства треугольников QTP и RSP.

На данном рисунке имеем равные треугольники MKF и NPE. Они равны по стороне и двум прилежащим углам — 2-ой признак (равенство сторон KF и PE нам дано, углы MKF и NPE также равны по условию, а углы KFM и PEN равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).

На данном рисунке имеем:

1) равные треугольники AED и BED (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ED - общая сторона, углы AED и BED тоже равны по условию.

2) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АЕС и ВЕС (по двум сторонам и углу между ними); равенство АЕ и ЕВ нам дано по условию, ЕС - общая сторона, а углы АЕС и ВЕС равны по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы равны).

3) из равенства этих треугольников вытекает равенство треугольников АDC и BDC (по двум сторонам и углу между ними); равенство АD и DB мы получаем из равенства треугольников AED и BED; сторона СD у треугольников общая, а углы ADC и BDC также равны из доказанного равенства треугольников AED и BED.

Задание 6

Дано:

ΔADC - равнобедренный

BK = KD

AC = CD

∠BCK = 30°

Найти:

∠CBA - ?

ΔADC - равнобедренный (по рис.) ⇒ ∠B = ∠D (по свойству равнобедр. треуг.).

Отрезок CK - медина (делит противолежащую сторону на две равные) является высотой (по свойству равнобедр. треуг.) ⇒ ∠CKB = 90°.

∠CBK + ∠CKB + ∠BCK = 180° (по свойству треуг.)

∠CBK + 90° + 30° = 180°

∠CBK = 180° - (90° + 30°)

∠CBK = 60°

∠CBK и ∠CBA - смежные ⇒ ∠CBK + ∠CBA = 180°

60° + ∠CBA = 180°

∠CBA = 120°

ответ: ∠CBA = 120°.

Задание 7

Дано:

ΔCAD - равнобедренный

CA = DA

CB = BD

Найти:

∠CBA - ?

ΔCAD - равнобедр. (по рис.)

⇒ Отрезок BA - медианой (делит противолежащую сторону на две равные), является высотой (по свойству равнобедр. треуг.) и образует углы (∠CBA и ∠DBA) в 90°.

⇒ ∠CBA = 90°

ответ: ∠CBA = 90°.

Задание 8

Дано:

ΔDBK - равнобедр.

DM = MK

DB = BK

∠K = 70°

Найти:

∠CBA - ?

ΔDBE - равнобедр. (по рис.)

BM - медиана (делит противолежащую сторону на две равные)

⇒ BM - биссектриса и высота (по свойству равнобедр. треуг.)

⇒ ∠BME = 90°.

∠K + ∠BME + ∠MBE = 180° (по свойству треуг.)

⇒ 70° + 90° + ∠MBE = 180°

∠MBE = 180° - (70° + 90°)

∠MBE = 20°

Т.к. BM - биссектриса, то ∠DBE = 2∠MBE = 40°

∠DBE и ∠CBA - вертикальные

⇒ ∠DBE = ∠CBA = 40°

ответ: ∠CBA = 40°.