Точка S рівновідаленна від кожної сторони правильного трикутника ABC зі стороною 8 корінь з 3 см. Знайти відстань від точки SMS до сторони AB, якщо відстань від точки S до площини ABC дорівнює 2 корінь з 5 см.
длины отрезков, на которые биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведенную к гипотенузе.
Решение.
1) По теореме Пифагора найдём длину катета АС:
АС = √(АВ²-ВС²) = √(130²-104²) = √(16900-10816) = √6084= 78 см
2) В треугольнике меньшая сторона лежит против меньшего угла. Это значит, что меньшим острым углом является ∠В, против которого лежит катет АС.
3) Выполним построение.
Из угла В проведём биссектрису, которая пересечет катет АС в точке Е. Из вершины прямого угла С проведём медиану к гипотенузе АВ, и точку пересечения медианы со стороной АВ обозначим D, а точку пересечения медианы CD с биссектрисой ВЕ обозначим F.
В принятых обозначениях необходимы найти DF и FC.
4) Теорема. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Следовательно:
DC = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см
Так как точка D является серединой АВ, согласно построению, то:
BD = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см
5) Теорема. Биссектриса данного угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Следовательно:
DF : FC = DB : BC (1)
Так как DC = DF + FC = 65 cм, то
DF = DC - FC = 65-FC (2)
Подставим (2) в (1), получим:
(65-FC) : FC = DB : BC
(65-FC) : FC = 65 : 104
65 · 104 - 104FC = 65FC
6760 = 65FC + 104FC
169 FC = 6760
FC = 6760 : 169 = 40 см
Отсюда DF = 65-FC = 65 - 40 = 25 см
ответ: биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведённую к гипотенузе, на два отрезка длиной (считая от вершины прямого угла) 40 см и 25 см.
ВD - биссектриса угла АВС по св-ву диагоналей ромба ⇒ ∠АВD=∠DВС; назовём биссектрису угла АВD - ВК; тогда ∠АВК (или ∠КВD) = 1/2 ∠DВС (или ∠АВD); пусть ∠КВD=х°, тогда ∠DВС=2х°;
ромб - это параллелограмм с равными сторонами, поэтому для него работают все св-ва параллелограмма; ВС и АD - параллельные стороны, сумма углов DКВ и КВС = 180°, как односторонних;
х+2х+120=180
3х=60
х=20
Значит, ∠КВD=20°, ∠АВD=2*20=40°, ∠АВС=40*2=80°; ∠АВС=∠АDС по св-ву ромба; сумма ∠АВС+ВАD=180°; значит, ∠ВАD=180-80=100°; ∠ВАD=∠АСD по св-ву ромба.
40 см и 25 см
Объяснение:
Дано:
Прямоугольный треугольник АВС (угол С - прямой):
гипотенуза АВ = 130 см
катет ВС = 104 см
Найти:
длины отрезков, на которые биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведенную к гипотенузе.
Решение.
1) По теореме Пифагора найдём длину катета АС:
АС = √(АВ²-ВС²) = √(130²-104²) = √(16900-10816) = √6084= 78 см
2) В треугольнике меньшая сторона лежит против меньшего угла. Это значит, что меньшим острым углом является ∠В, против которого лежит катет АС.
3) Выполним построение.
Из угла В проведём биссектрису, которая пересечет катет АС в точке Е. Из вершины прямого угла С проведём медиану к гипотенузе АВ, и точку пересечения медианы со стороной АВ обозначим D, а точку пересечения медианы CD с биссектрисой ВЕ обозначим F.
В принятых обозначениях необходимы найти DF и FC.
4) Теорема. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Следовательно:
DC = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см
Так как точка D является серединой АВ, согласно построению, то:
BD = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см
5) Теорема. Биссектриса данного угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Следовательно:
DF : FC = DB : BC (1)
Так как DC = DF + FC = 65 cм, то
DF = DC - FC = 65-FC (2)
Подставим (2) в (1), получим:
(65-FC) : FC = DB : BC
(65-FC) : FC = 65 : 104
65 · 104 - 104FC = 65FC
6760 = 65FC + 104FC
169 FC = 6760
FC = 6760 : 169 = 40 см
Отсюда DF = 65-FC = 65 - 40 = 25 см
ответ: биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведённую к гипотенузе, на два отрезка длиной (считая от вершины прямого угла) 40 см и 25 см.
ВD - биссектриса угла АВС по св-ву диагоналей ромба ⇒ ∠АВD=∠DВС; назовём биссектрису угла АВD - ВК; тогда ∠АВК (или ∠КВD) = 1/2 ∠DВС (или ∠АВD); пусть ∠КВD=х°, тогда ∠DВС=2х°;
ромб - это параллелограмм с равными сторонами, поэтому для него работают все св-ва параллелограмма; ВС и АD - параллельные стороны, сумма углов DКВ и КВС = 180°, как односторонних;
х+2х+120=180
3х=60
х=20
Значит, ∠КВD=20°, ∠АВD=2*20=40°, ∠АВС=40*2=80°; ∠АВС=∠АDС по св-ву ромба; сумма ∠АВС+ВАD=180°; значит, ∠ВАD=180-80=100°; ∠ВАD=∠АСD по св-ву ромба.