Точка перетину медіан рівнобедреного трикутника віддалена від основи на 5 см а бісектриса кута при основі ділить висоту проведену до основи на відрізки у відношенні 5: 4 обчислити периметр трикутника

ответ: Р = 90 см

Объяснение:

медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

следовательно, медиана, проведенная к основанию (она же высота и биссектриса), = 15 см.

биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам; т.е.

b:(a/2) = 5:4 ---> b = 5a/8

или

b:(a/2) = 4:5 ---> b = 2a/5 -такого треугольника не существует; для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника: a<2b)

где a-основание равнобедренного треугольника; b-боковые стороны

по т.Пифагора

b^2 = (а/2)^2 + 15^2

(25/64)a^2 - (1/4)a^2 = 15^2

(9/64)a^2 = 15^2

a^2 = (15*8/3)^2

a = 40; b = 5*40/8 = 25

P = 2b+a = 50+40 = 90

Точка F - точка пересечения биссектрисы угла при основании и высоты BD, H - точка пересечения медиан и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

HD = 5 см, следовательно BH = 2 * 5 = 10 см. Высота равнобедренного треугольника BD = 5 + 10 = 15 см.

Из условия BF/FD = 5/4 , пусть BF = 5x, тогда FD = 4x. Тогда по свойству биссектрисы для треугольника ABD

AB/AD = BF/FD = 5/4  ⇒  AB = 5y и AD = 4y

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD

25y² = 16y² + 15²

9y² = 225

y = 5

Следовательно, AB = BC = 25 см и AC = 2*AD = 40 см.

Периметр ΔABC: P = AB + BC + AC = 25+25+40 = 90 см

ответ: 90 см.