Биссектриса делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам))) теорема такая есть))) отрезок катета, равный 4 будет прилежать ко второму катету, а отрезок, равный 5 -- к гипотенузе (она бО'льшая сторона))) тогда можно записать т.Пифагора (4+5)² + (4х)² = (5х)² 9² = 25х² - 16х² = 9х² 9 = х² х = 3 --- это одна часть из 4 таких частей состоит второй катет (и из 5 таких частей состоит гипотенуза))) площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов))) один катет дан = 4+5 = 9 второй катет = 4*3 = 12 S = 9*12/2 = 9*6 = 54
Ну, тут есть много доказать. То, что медианы пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2/1, считая от вершины, доказывается самостоятельно, и это можно использовать. Дальше, если у двух треугольников общая высота и равные стороны, к которым эта высота проведена, то их площади равны. Поэтому из 6 треугольников попарно имеют равные площади те треугольники, у которых стороны вместе образуют сторону исходного треугольника. Формально это выглядит так. Треугольник ABC, A1 - середина BC, B1 - середина AC, C1 - середина AB, медианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке G. Можно записать, что у нас есть два треугольника площадью S1 (прилегающих к стороне AB - AC1M и BC1M имеют общую высоту - расстояние от M до AB, и равные стороны AC1 и BC1) , два - площадью S2 (BA1M и CA1M), и два площадью S3 (AB1M и CB1M); Так же равны площади треугольников ABB1 и CBB1 (точно так же - AB1 = B1C, высота общая, расстояние от B до AC). Отсюда 2*S1 + S3 = 2*S2 + S3; то есть S1 = S2; Точно так же из равенства площадей ACC1 и BCC1 2*S3 + S1 = 2*S2 + S1; S3 = S2; всё доказано.
Равенство площадей можно увидеть "непосредственно". К примеру, расстояние от точки M до BC в 3 раза меньше расстояния от точки A до BC. Это легко показать, если провести соответствующие перпендикуляры и вспомнить, что MA1/AA1 = 1/3; из подобия треугольников такое же отношение будет и у высот треугольников ABC и AMC. У этих треугольников общая сторона AC, а высота AMC к этой стороне в 3 раза меньше, значит, и площадь в 3 раза меньше. А медиана MA1 делит AMC еще на два равных по площади треугольника - у них общая вершина напротив равных сторон, то есть общая высота к равным сторонам. Это всё.
пропорциональные прилежащим сторонам)))
теорема такая есть)))
отрезок катета, равный 4 будет прилежать ко второму катету,
а отрезок, равный 5 -- к гипотенузе (она бО'льшая сторона)))
тогда можно записать т.Пифагора
(4+5)² + (4х)² = (5х)²
9² = 25х² - 16х² = 9х²
9 = х²
х = 3 --- это одна часть
из 4 таких частей состоит второй катет (и из 5 таких частей состоит гипотенуза)))
площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов)))
один катет дан = 4+5 = 9
второй катет = 4*3 = 12
S = 9*12/2 = 9*6 = 54
То, что медианы пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2/1, считая от вершины, доказывается самостоятельно, и это можно использовать.
Дальше, если у двух треугольников общая высота и равные стороны, к которым эта высота проведена, то их площади равны. Поэтому из 6 треугольников попарно имеют равные площади те треугольники, у которых стороны вместе образуют сторону исходного треугольника.
Формально это выглядит так.
Треугольник ABC, A1 - середина BC, B1 - середина AC, C1 - середина AB, медианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке G. Можно записать, что у нас есть два треугольника площадью S1 (прилегающих к стороне AB - AC1M и BC1M имеют общую высоту - расстояние от M до AB, и равные стороны AC1 и BC1) , два - площадью S2 (BA1M и CA1M), и два площадью S3 (AB1M и CB1M);
Так же равны площади треугольников ABB1 и CBB1 (точно так же - AB1 = B1C, высота общая, расстояние от B до AC). Отсюда
2*S1 + S3 = 2*S2 + S3;
то есть S1 = S2;
Точно так же из равенства площадей ACC1 и BCC1
2*S3 + S1 = 2*S2 + S1;
S3 = S2;
всё доказано.
Равенство площадей можно увидеть "непосредственно". К примеру, расстояние от точки M до BC в 3 раза меньше расстояния от точки A до BC. Это легко показать, если провести соответствующие перпендикуляры и вспомнить, что MA1/AA1 = 1/3; из подобия треугольников такое же отношение будет и у высот треугольников ABC и AMC. У этих треугольников общая сторона AC, а высота AMC к этой стороне в 3 раза меньше, значит, и площадь в 3 раза меньше.
А медиана MA1 делит AMC еще на два равных по площади треугольника - у них общая вершина напротив равных сторон, то есть общая высота к равным сторонам. Это всё.