Точка M и N являются соответственно серединами сторон CD и BC параллелограмма ABCD. Докажите что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.
Меньшая боковая грань будет там, где одна сторона равна 12.
Диагональ в этой грани разделит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: Один катет равен 12 см. Гипотенуза - диагональ = 13 см. 2-й катет - это высота параллелепипеда.
По теореме Пифагора находим, что высота параллелепипеда равна √(169 - 144) = √25 = 5 см.
Обозначим длину(20 см), ширину(12 см) и высоту(5 см) за a, b, c соответственно. Тогда: S полной поверхности = 2(S₁ + S₂ + S₃) = 2(ab + bc + ac) = 2(20*12 + 12*5 + 20*5) = 2(240 + 60 + 100) = 2*400 = 800 см²
Если соединить заданную точку с вершинами треугольника, то получим 3 треугольника с боковыми сторонами 3, 4 и 5 и с равными основаниями. По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине. а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω. Поэтому добавляем четвёртое уравнение: α + β + ω = 2π. Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций: α градус α радиан cos α a² = a = 25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665 41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663 34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664. С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.
Диагональ в этой грани разделит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них:
Один катет равен 12 см.
Гипотенуза - диагональ = 13 см.
2-й катет - это высота параллелепипеда.
По теореме Пифагора находим, что высота параллелепипеда равна √(169 - 144) = √25 = 5 см.
Обозначим длину(20 см), ширину(12 см) и высоту(5 см) за a, b, c соответственно. Тогда:
S полной поверхности = 2(S₁ + S₂ + S₃) = 2(ab + bc + ac) = 2(20*12 + 12*5 + 20*5) = 2(240 + 60 + 100) = 2*400 = 800 см²
По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.
а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα
a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ
a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω
Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.
Поэтому добавляем четвёртое уравнение:
α + β + ω = 2π.
Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:
α градус α радиан cos α a² = a =
25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665
41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663
34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664.
С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.