Точка М делит отрезок РК в отношении 2:1, начиная от точки Р. Найдите координаты точки Р, если точки М и К имеют соответственно координаты (2: -4), (3: 5)

ответ:  S ABCD = 168 см²,  S MNKP = 182 см².

Объяснение:

1. Пусть дан параллелограмм ABCD.

AK - высота, проведённая к основанию DC, равна 12 см.

DC - основание параллелограмма, равное 14 см.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена высота.

⇒ S ABCD = AK · DC = 12 · 14 = 168 см².

2. Пусть дан параллелограмм MNKP.

MP = 14 см, MN = 26 см, ∠PMN = 150°.

MN || PK (по свойству параллелограмма).

∠PMN + ∠MPK = 180°, т.к. односторонние при MN || PK и секущей MP.

⇒ ∠MPK = 180° - 150° = 30°

Проведём из точки M к основанию PK данного параллелограмма высоту MB. Образовался прямоугольный ΔMBP (∠MBP - прямой).

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ MB = 1/2MP = 1/2 · 14 = 7 см.

MN = PK = 26 см (по свойству параллелограмма).

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена высота.

⇒ S MNKP = MB · PK = 7 · 26 = 182 см².

Даны точки С(-1;5;3), D(3;-2;6), Е(7;-1;3), Н(3;6;0).

Доказательством, что ADEH - прямоугольник, будет равенство противоположных сторон и диагоналей.

Расстояние между точками определяем по формул:.    

d = √((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).

  АD =  √(4² +  (-7)² +  3²) = √74 ≈ 8,602325.

  DE = √(4² + 1² + (-3)²) = √26 ≈ 5,099019.

  EH = √((-4)² + 7² + (-3)²) = √ 74 ≈ 8,602325.

  АH = √(4² +  1² + (-3)²) = √26 ≈ 5,099019.

Как видим, стороны попарно равны.

Находим диагонали.

АЕ = √(8² + (-6)² + 0²) = √100 = 10.

DH = √(0² + 8² + (-6 )²) = √100 = 10.

Диагонали тоже равны, доказано.