Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 4 см и 5 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника

1. Точки К, Т и Р лежат попарно в одной плоскости, поэтому соединяем их.
КТР - искомое сечение.

2. Пусть К - середина AD, Р - середина СС₁, Т - середина А₁В₁.
1) Т₁С - проекция прямой ТР на плоскость основания.
ТР ∩ Т₁С = Е, - это точка пересечения прямой ТР с плоскостью основания.
Точки Е и К принадлежат основанию, значит ЕК - след сечения на плоскости основания.
ЕК ∩ CD = L
KL - отрезок сечения.
Точки L и Р лежат в одной плоскости, соединяем.
PL - отрезок сечения.
2) Плоскость (АВС) пересекается с плоскостью (АА₁В₁) по прямой АВ.
KL ∩ AB = F
Точка F принадлежит плоскости (АА₁В₁) и точка Т тоже.
FT ∩ AA₁ = M
КМ и ТМ - отрезки сечения.
3) Плоскость (АА₁В₁) пересекается с плоскостью (ВВ₁С₁) по прямой ВВ₁.
FT ∩ BB₁ = G.
Точка G принадлежит плоскости (ВВ₁С₁) и точка Р тоже.
GP ∩ B₁C₁ = N.
NP и NT - отрезки сечения.
KMTNPL - искомое сечение.

А) Рассмотрим треуг-ки ВМР и ВКР. Они равны по двум сторонам и углу между ними:
- ВМ=ВК по условию;
- ВР - общая сторона;
- углы МВР и КВР равны, т.к. в равнобедренном треуг-ке АВС высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой.
У равных треугольников соответственные углы ВМР и ВКР равны.

б) Треугольники МРО и КРО также равны по двум сторонам и углу между ними:
- МР=КР, т.к. треуг-ки ВМР и ВКР равны (как было доказано выше); 
- ОР - общая сторона;
- углы ВРМ и ВРК равны как соответственные у равных треуг-ов ВМР и ВКР. 
У равных треугольников МРО и КРО равны соответственные углы КМР и МКР.