Точка А лежить на відрізку ВС, причому АВ дорівнює АС і дорівнює= 3 см. Виберіть правильне твердження:
а) ВС дорівнює= 5см; б) ВС>7см;
в) ВС<6см; г) точка А — середина відрізка ВС.
2. Паралельні прямі а і b перетинаються прямою с . Позначте і Назвіть утворені кути
3.. Розгорнутий кут поділений у відношенні 5:13. Знайдіть градусні міри кутів, що утворилися.
4. У трикутнику АВС відомі дві сторони: АВ дорівнює 10 см і ВС дорівнює 12 см. Доведіть, що коли АС
дорівнює10 см, то кут В дорівнює куту С.
5.Середина К хорди АВ сполучена з центром О кола. Знайдіть кути трикутника АОК, якщо кут АОВ дорівнює 106°.
6. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведено бісектрису СD. Знайдіть кути трикутника АDС, якщо кут АВС = дорівнює 80°.
7 Відрізок АВ перетинає пряму с у точці М. Відомо, що АM дорівнює= ВМ. Доведіть, що точки А і В розміщені на однаковій відстані від прямої с.
8. Доведіть, що коли через середину хорди провести діаметр, а через його кінці — дотичні до кола, то хорда буде паралельною дотичним.
9.. Доведіть, що в рівносторонньому трикутнику будь-які дві медіани рівні.
10 Знайти радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник,
якщо катет a дорівнює 7 см, катет b
дорівнює 9 см, гіпотенуза с дорівнює 10 см.
1) пусть S - площадь ABC, S1 - площадь DEF.
2) поскольку у треугольника ABC заданы все три стороны, то его площадь фактически тоже задана - она просто считается по формуле Герона. Чтобы потом не тратить место, я её сразу рассчитаю для треугольника со сторонами 5,4,6.
p = (5 + 4 + 6)/2 = 15/2; p - 5 = 5/2; p - 4 = 7/2; p - 6 = 3/2;
S^2 = 15*5*7*3/2^4; S = 15√7/4;
3) Из трех отрезков, выходящих из точки M, заданы два. Третий ME = n легко рассчитывается, если заметить, что
S = mc/2 + ka/2 + nc/2;
n = (2S - mc - ka)/b;
Для заданных в условии числовых значений n = 15√7/8 - 4; это приблизительно 0,960783708246107;
4) теперь надо приложить первое и последнее в этой задаче мозговое усилие.
Четырехугольник AFME имеет два прямых угла, поэтому сумма двух других углов ∠FAE + ∠FME = 180°;
это означает, что sin(∠FAE) = sin(∠FME) = sin(A); где A - угол треугольника ABC. Площадь треугольника FME равна mn*sin(∠FME)/2 = mn*sin(A)/2;
С другой стороны, S = bc*sin(A)/2; поэтому площадь треугольника FME находится так
Sfme = S*mn/bc;
точно так же находятся площади треугольников FMD и DME, если результаты сложить, то очевидно получается
S1/S = mn/bc + mk/ac + kn/ab;
5) нужно найти S/S1, округленную до ближайшего целого. Для этого полезно уметь пользоваться Excel :).
Для S1/S получается приближенно 0,202777692001532; обратная величина 4,93150893537365;
то есть в ответе должно стоять 5;
Поскольку n очень близко к 1, этот ответ легко получить и простыми арифметическими подсчетами.
Но раз уж от Вас требуют еще какого-то доказательства, то можно и так:
Пусть есть тр-ки АВС и А1 В1 С1 равны.
Покажем, например, что биссектриса АН = биссектрисе А1 Н1.
Для этого заметим, что треугольники АНВ и А1 Н1 В1 равны по ВТОРОМУ признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим углам).
Так же и про остальные биссектрисы.