Тест по теме «уравнения окружности и прямой»
i уровень. i вариант.
1. укажите, какое из уравнений является уравнением окружности:
1) +у=0, 2) , 3)
2. напишите уравнение окружности с центром в точке а (-7; 6) и радиусом равным 3:
1) , 2) , 3) .
3. укажите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением :
1) (3; 2),r=4 2) (3; 2),r=16 3) (3; 2),r=4.
4. напишите уравнение окружности с центром в точке о (0; 0) и проходящей через точку в(3; 1)
1) 2) 3) .
5. какое из уравнений, задает прямую параллельную оси абсцисс:
1) х+3у+5=0 2) у=5 3) х=3.
6. уравнением прямой, проходящей через начало координат ,является:
1) у = х 2) у =4 3) х=3.
7. в какой точке прямая 5х+2у+8=0 пересекает ось ординат:
1) (0; 2) ( 3) ( 0; 0).
8. через какую из указанных точек проходит окружность, заданная уравнением
1) а (4; 0) 2) в (2; 0) 3) с (4; 1)
9. запишите уравнение прямой ав, проходящей через точки а (3; 4) , в (1; 2).
10. найдите координаты точки пересечения двух прямых:
и .
Ход решения задачи.
1.
Провести через вершину меншего основания прямую, паралельную боковой стороне трапеции.
Получим на основании 2 отрезка, один из которых равен 2, другой - 1см( равный меньшему основанию)
2.
Обозначить отрезок между основанием высоты и большим углом у основания х
Составить 2 выражения для нахождения высоты трапеции (из того же угла), для чего опустить эту высоту на большее основание и приравнять их.
Получим
h²=()²-х²
h²=4² - (2-х)²
(2√3)²-х²=4² - (2-х)²
Решив это уравнение. найдем, что х=0.
Отсюда эта трапеция - прямоугольная, и углы при меньшей боковой стороне - прямые.
h=2√3
Косинус нужного угла =2:4=0,5
Найдите угол по таблице косинусов.
Этот угол равен 60º.
Во-первых, сразу вычислю третий угол треугольника АВС. Это легко, ведь сумма углов треуголника всегда 180 градусов.
Итак: угол В = 180-22-28=130 (град).
Понятно теперь, что треугольник АВС тупоугольный и, значит, центр О описывающей его окружности не внутри треугольника, а вне его.
Стоит ли это объяснять? Ну, на всякий случай скажу, что это очевидно вот почему: гипотенуза прямоугольного треугольника всегда проходит через центр описывающей его окружности.Это точно проходят в школе!
(Теперь легко представить вот что:
- Если прямой угол такого (вписанного в круг) треугольника начать уменьшать, то центр кружности окажется внутри треугольника. Так со всеми остроугольными треуголниками получается.
- Если же прямой угол увеличивать, то центр кружности окажется за пределами треугольника. Это касается всех тупоугольних треуголников.)
Дальше же вот из чего буду исходить:
Известно, что "Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре".
Т.е. если провести лучи из центра окружности (О) в точки пересечения хорды и этой окружности (в нашем случае это точки А и С), получится угол ровно в два раза больший, чем тот, лучи которого будут проходить через те же точки А и С, но исходить из точки, лежащей на окружности. Назовем ее D.
АОC=2ADC
Внимание! Это касается только случаев, когда точка D и центр окружности О лежат по одну сторону от хорды!
Это точно в школе проходят.
То есть, знай мы ADC - и ответ на задачку у нас в кармане!
В нашем случае нет пока точки D, но у нас есть точка В! И это прекрасная возможность поставить точку D так, что мы с легкостью вычислим угол ADC!!
Нет ничего проще: Порводим прямую ВО - она пересечет нашу окружность как раз там, где нам нужно. Это и будет необходимая D. (Назовем точку пересечения D.)
Соединим отрезками точки D и A, D и C.
Теперь посчитаем величину угла ADC. Для этого рассмотрим два получившихся треугольника DAC и DСВ и четырехуголник DABС.
Треугольники прямоугольные. (Мы это уже обсуждали в начале - ведь гипотенуза каждого из них проходит через центр описывающей их окружности)
Значит углы DAВ и DСВ прямые.
Получается, в четырехуголнике DAВС мы знаем три угла из четырех:
- углы А (DAВ) и С (DСВ ) прямые,
- угол В равен 130 градусов (мы это высчитали в самом начале, для треугольника АВС)
Ну, а что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов - это точно в школе проходят! (Да и сообразить легко - ведь такую фигуру всегда можно разбить диагональю на два треугольника. А в каждом треугольнике 180!)
значит АDС равен 360-90-90-130=50 градусов! (довольно забавно: этот угол, оказывается, равен сумме углов А и С треугольника АВС!)
Ну, и теперь только удвоить это число - и получим ответ:
Помните? АОC=2ADC
Т.е. угол АОС равен удвоенному АDС
АОС= 50х2= 100 градусов.
Итак все окаалось просто:
1) проводим прямую через В и О, точку пересечения ее с окружностью обозначаем D.
2) Определяем углы четырехугольника DABС
3) удваиваем величину угла АDС = это и есть искомая величина!
Ура!))