Пусть единицей измерения длины будет меньшая часть стороны. Тогда сторона прямоугольника равна 3 и делится срединным перпендикуляром к диагонали на отрезки 2 и 1. Вот этот перпендикуляр, кусок стороны прямоугольника длины 2 и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. Его гипотенуза равна 2. Если из середины диагонали, то есть из вершины прямого угла ЭТОГО прямоугольного треугольника, провести высоту к его гипотенузе, то она поделит сторону прямоугольника пополам. То есть отсечет на гипотенузе 2 отрезок 3/2; второй отрезок очевидно будет равен 2 - 3/2 = 1/2; В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит треугольник на два,подобные между собой (и исходному треугольнику тоже подобные). Поэтому, если обозначить проведенную высоту h (конечно же - это половина второй стороны прямоугольника), то h/(3/2) = (1/2)/h; h^2 = 3/4; h = √3/2; Теперь легко сосчитать, что длина отрезка срединного перпендикуляра между диагональю и стороной (то есть - один из катетов ЭТОГО прямоугольного треугольника) равен √(h^2 + (1/2)^2 = √(3/4 + 1/4) = 1; то есть получилось, что катет в два раза меньше гипотенузы. Поэтому острый угол этого прямоугольного треугольника, то есть угол между диагональю и стороной прямоугольника, равен 30°;
Угол МАВ=45, угол МСВ=30. МВ=4. Поскольку угол МАВ=45, то в прямоугольном ΔАМВ угол АМВ=180-90-45=45. Тогда этот треугольник равнобедренный и АВ=МВ=4. МВ/ВС=tgМСВ. Отсюда АД=ВС=МВ/tg30=4√3. Диагональ ВД=√(АВ² +ВС²)=√(16+48)=8. МД²=МВ²+ВД²=16+64=80. АМ²=МВ²+ АВ²=16+16=32. В ΔМАД: АМ²+АД²=32+48=80, а это равно МД², что значит МД- гипотенуза прямоугольного ΔМАД. МС²=МВ²+ВС²=16+48=64. Тогда в ΔМСД: МС²+ДС²=64+16=80, а это тоже равно МД², и он также прямоугольный. б) Стороны равны АВ=ДС=4. АД=ВС=4√3. в) ВD-проекция МD,ВС-проекция МС, значит ΔВСD-проекция ΔМСD Площадь ΔВДС равна Sвдс=1/2*ВС*ДС=1/2*4√3*4=8√3
Вот этот перпендикуляр, кусок стороны прямоугольника длины 2 и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. Его гипотенуза равна 2.
Если из середины диагонали, то есть из вершины прямого угла ЭТОГО прямоугольного треугольника, провести высоту к его гипотенузе, то она поделит сторону прямоугольника пополам. То есть отсечет на гипотенузе 2 отрезок 3/2; второй отрезок очевидно будет равен 2 - 3/2 = 1/2;
В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит треугольник на два,подобные между собой (и исходному треугольнику тоже подобные). Поэтому, если обозначить проведенную высоту h (конечно же - это половина второй стороны прямоугольника), то
h/(3/2) = (1/2)/h; h^2 = 3/4; h = √3/2;
Теперь легко сосчитать, что длина отрезка срединного перпендикуляра между диагональю и стороной (то есть - один из катетов ЭТОГО прямоугольного треугольника) равен √(h^2 + (1/2)^2 = √(3/4 + 1/4) = 1; то есть получилось, что катет в два раза меньше гипотенузы. Поэтому острый угол этого прямоугольного треугольника, то есть угол между диагональю и стороной прямоугольника, равен 30°;
Поскольку угол МАВ=45, то в прямоугольном ΔАМВ угол АМВ=180-90-45=45. Тогда этот треугольник равнобедренный и АВ=МВ=4.
МВ/ВС=tgМСВ. Отсюда АД=ВС=МВ/tg30=4√3.
Диагональ ВД=√(АВ² +ВС²)=√(16+48)=8.
МД²=МВ²+ВД²=16+64=80. АМ²=МВ²+ АВ²=16+16=32.
В ΔМАД: АМ²+АД²=32+48=80, а это равно МД², что значит МД- гипотенуза прямоугольного ΔМАД.
МС²=МВ²+ВС²=16+48=64.
Тогда в ΔМСД: МС²+ДС²=64+16=80, а это тоже равно МД², и он также прямоугольный.
б) Стороны равны АВ=ДС=4. АД=ВС=4√3.
в) ВD-проекция МD,ВС-проекция МС, значит ΔВСD-проекция ΔМСD
Площадь ΔВДС равна Sвдс=1/2*ВС*ДС=1/2*4√3*4=8√3