Существует ли выпуклый четырехугольник, углы которого равны 150°,40°,65°,120°. ответ обоснуйте. b) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 1080°.

2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке K. Докажите, что четырехугольник MNFP, вершинами которого являются середины отрезков KA, KB, KC и KD – параллелограмм.

3. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 3 м и 4 м и меньшим основанием 5 м. Найдите периметр данного треугольника.

4. В треугольнике АВС, АВ = АС. Медиана к боковой стороне делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки, меньший из которых равен 4. Найдите длину этой высоты.

ПИрамида НАВСДЕК, Н-вершина, О-центр пирамиды, КО-высота пирамиды, правильная шестиугольная пирамида, разбивается на 6 правильных треугольников, рассматриваем треугольник АВО, проводим высоту в треугольнике АВО высоту ОТ на АВ, проводим апофему НТ, уголНТО=45, треугольник НТО прямоугольный, равнобедренный, уголТНО=90-45=45, ОТ=НО, площадь АВО=АВ в квадрате*корень3/4, высота ОТ=АВ*корень3/2, площадь АВСДЕК=6*площадь АВО=6*АВ в квадрате*корень3/4, объем=1/3 площадь основания*НО, 162=1/3*(6*АВ в квадрате*корень3/4)*(АВ*корень3/2), 162=3*АВ в степени3/4, АВ в степени3=216, АВ=6

1)Задача
Рисунок 1
Сначала вычислим  б)-длину проекции отрезка МС на плоскость квадрата.
 Так как  МС=МД=МА=МВ и исходят из общей вершины М,  
то проекции этих наклонных на плоскость  квадрата  равны.
М проецируется в точку О пересечения диагоналей  квадрата. 
В квадрате d=а√2, где d- его диагональ, а - сторона.   
ОС= АС:2 
ОС= (8√2):2=4√2  
Расстояние от точки М до плоскости квадрата найдем из  прямоугольного треугольника МОС по т. Пифагора:
 МО=√(МС²-ОС²)=√(256-32)=√224=4√14 
--------------------------- 
Задача 2
рисунок 2) 
Расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром  к ней.
КН - перпендикуляр и равен 5.  
Гипотенуза МК треугольника МРК по т. Пифагора 
 МК=√225=15 
Проекцию МН гипотенузы МК найдем из прямоугольного  треугольника МНК
( вспомним теорему о трех перпендикулярах.  НК - перпендикулярна прямой  НР на плоскости, след. МН, как проекция МК,  также перпендикулярна НР). 
 МН²=МК²-КН²
МН=√200=10√2 
-----------------
Задача 3
Рисунок 3 
Искомое расстояние ВН - катет каждого из прямоугольных треугольников,  образованных наклонными АВ и ВС, их проекциями АН и НС на  плоскость и расстоянием ВН от их общего конца В до плоскости.  
ПУсть АН=х, тогда НС=2х ( из отношения АН:НС=1:2)  
ВН²=АВ²-х²  
ВН²=ВС²-(2х)² 
АВ²-х²=ВС²-(2х)² 
49-х²=100-4х² 
3х²=51 х²=17 
Из треугольника АВН найдем ВН. 
ВН²=49-17=32 
ВН=√32=4√2