Я много раз тут приводил решения задач, связанных с этим треугольником. Поэтому размещаю тут (автору я уже писал в личку :)) "оригинальное", позволяющее вчислить все величины устно :))
Треугольник составлен из двух Пифагоровых треугольников (5,12,13) и (9,12,15), приставленных друг к другу катетами 12. Получается треугольник (13,14,15).
Этого достаточно, для того, чтобы без затруднений устно сосчитать радиусы - по известым формулам:))
Для начала найдем площадь треугольника S = 12*14/2 = 84.
Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42;
Радиус вписанной окружности r = 2*S/P = 4.
Радиус описанной окружности
R =a*b*c/(4*S) = 13*14*15/(4*12*14/2) = 13*15/24 = 65/8 = 8,125
Хорошей дополнительной проверкой может служить вот что - в треугольниках, "не слишком сильно отличающихся" от правильного, R должно быть близко к 2*r. (критерий этого "не слишком" нам не важен - это же не строгое утверждение, а метод прикидочной проверки результата). В этом треугольнике R - 2*r = 1/8.
В трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны АВ в точке М такой,что ВМ:АМ=1:16.Известно,что ВС=3,АВ=17.Найдите радиус окружности,касающейся прямых AD,CD и касающейся окружности,вписанной в данную трапецию.
Обратим внимание на то, что окружность касается не сторон, а прямых. Значит. она находится не внутри трапеции, а вне. Сделаем рисунок. По свойству равенства отрезков касательных АМ=АЕ=16 ВМ=ВТ=1 ТС=СК=(3-1)=2 Найдем радиус вписанной в трапецию окружности. Опустим из вершины В высоту ВН. НЕ=ВТ=1 АН=16-1=15 Треугольник АВН прямоугольный. И отношение его сторон - из Пифагоровых троек. ВН=8 ( можно проверить по т. Пифагора). Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. ОЕ=ОК=4. Треугольник СОD - прямоугольный ( боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности всегда видна под прямым углом). Высота ОК этого треугольника ( радиус к СD в точку касания перпендикулярен) - среднее пропорциональное отрезков, на которое высота делит гипотенузу. ОК² =СК*КD 16=2*КD КD=16:2=8 В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных ее сторон равна: АВ+СD=BC+AD 17+10=3+24 - стороны найдены верно. К - точка касания вписанной и вневписанной окружностей . КD=DE=8 DP=DК по свойсву отрезков касательных. ЕР=ЕD+DP=16 Проведем из центра О вписанной окружности к опущенному из центра О1 вневписанной окружности перпендикуляру на прямую АD отрезок ОХ параллельно ЕР. ОЕ и О1Р - перпендикуляры. ОХ|| ЕР. следовательно, ОХРЕ - прямоугольник. ОХ=ЕР=16 Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1Х. В нем ОО1- сумма радиусов двух окружностей ( оба перпендикулярны к общей касательной СD в одной точке) Тогда ОО1 =R+r О1Х=R-r r=4 По т. Пифагора (ОО1)²-(О1Х)²=(ОХ)² (R+4)²-(R-4)²=16² 16R=16² R=16 --------- Как вариант - вневписанная окружность находится не сбоку от данной трапеции, а ПОД ней. Тогда вторая половина решения ( после того, как найден отрезок KD=8) выглядит несколько иначе. Во втором рисунке дано решение из подобия четырехугольников КDEO и PDEO1. Разобраться в нем несложно. ----------- [email protected]
Я много раз тут приводил решения задач, связанных с этим треугольником. Поэтому размещаю тут (автору я уже писал в личку :)) "оригинальное", позволяющее вчислить все величины устно :))
Треугольник составлен из двух Пифагоровых треугольников (5,12,13) и (9,12,15), приставленных друг к другу катетами 12. Получается треугольник (13,14,15).
Этого достаточно, для того, чтобы без затруднений устно сосчитать радиусы - по известым формулам:))
Для начала найдем площадь треугольника S = 12*14/2 = 84.
Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42;
Радиус вписанной окружности r = 2*S/P = 4.
Радиус описанной окружности
R =a*b*c/(4*S) = 13*14*15/(4*12*14/2) = 13*15/24 = 65/8 = 8,125
Хорошей дополнительной проверкой может служить вот что - в треугольниках, "не слишком сильно отличающихся" от правильного, R должно быть близко к 2*r. (критерий этого "не слишком" нам не важен - это же не строгое утверждение, а метод прикидочной проверки результата). В этом треугольнике R - 2*r = 1/8.
Обратим внимание на то, что окружность касается не сторон, а прямых.
Значит. она находится не внутри трапеции, а вне.
Сделаем рисунок. По свойству равенства отрезков касательных АМ=АЕ=16
ВМ=ВТ=1
ТС=СК=(3-1)=2
Найдем радиус вписанной в трапецию окружности.
Опустим из вершины В высоту ВН.
НЕ=ВТ=1
АН=16-1=15
Треугольник АВН прямоугольный. И отношение его сторон - из Пифагоровых троек.
ВН=8 ( можно проверить по т. Пифагора).
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. ОЕ=ОК=4.
Треугольник СОD - прямоугольный ( боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности всегда видна под прямым углом).
Высота ОК этого треугольника ( радиус к СD в точку касания перпендикулярен) - среднее пропорциональное отрезков, на которое высота делит гипотенузу.
ОК² =СК*КD
16=2*КD
КD=16:2=8
В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных ее сторон равна:
АВ+СD=BC+AD
17+10=3+24 - стороны найдены верно.
К - точка касания вписанной и вневписанной окружностей .
КD=DE=8
DP=DК по свойсву отрезков касательных.
ЕР=ЕD+DP=16
Проведем из центра О вписанной окружности к опущенному из центра О1 вневписанной окружности перпендикуляру на прямую АD отрезок ОХ параллельно ЕР.
ОЕ и О1Р - перпендикуляры.
ОХ|| ЕР. следовательно, ОХРЕ - прямоугольник.
ОХ=ЕР=16
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1Х.
В нем ОО1- сумма радиусов двух окружностей ( оба перпендикулярны к общей касательной СD в одной точке)
Тогда ОО1 =R+r
О1Х=R-r
r=4
По т. Пифагора
(ОО1)²-(О1Х)²=(ОХ)²
(R+4)²-(R-4)²=16²
16R=16²
R=16
---------
Как вариант - вневписанная окружность находится не сбоку от данной трапеции, а ПОД ней.
Тогда вторая половина решения ( после того, как найден отрезок KD=8) выглядит несколько иначе. Во втором рисунке дано решение из подобия четырехугольников КDEO и PDEO1. Разобраться в нем несложно.
-----------
[email protected]