Сторона основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см, діагональ основи – 15 см, а висота – 3 см. Знайдіть:1) площу діагонального перерізу паралелепіпеда;2) площу повної поверхні паралелепіпеда.
Очень важная задача. Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P. Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства AK/KB = AT/TP; BM/MC = TP/CT; если перемножить эти равенства, то получится (AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; (*) Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6; AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5;
Если вернуться к соотношению (*) (AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; то его можно переписать так (AK/KB)*(BM/MC)*(CT/AT) = 1; или (AK*BM*CT)/(KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая.
PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое.
Я поделю условно решение задачи на две части: 1)-нахождение АВ; 2)-нахождение радиуса.
1). По свойству двух пересекающихся хорд АN×NВ=СN×ND; (NВ+10)×NВ=14×16,5; NВ²+10NВ=231. Далее решаем обычное квадратное уравнение(NВ²+10NВ-231=0) через дискриминант. В результате получаем, что NВ=11, тогда АN=11+10=21, а вся хорда АВ=21+11=32.
2) Смотри решение по рисунку. Треугольники СNС1 и DND1 подобны по первому признаку(угол СNС1=DND1 как вертикальные, DСС1=DD1С1 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Имеем: NC1 - это радиус(r)-ОN, а D1N - это r+ON Подставим вместо обозначений числа(где можно): (r-13)(r+13)=16,5×14 r²-169=231 r²=400 r=20
Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P.
Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства
AK/KB = AT/TP;
BM/MC = TP/CT;
если перемножить эти равенства, то получится
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; (*)
Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6;
AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5;
Если вернуться к соотношению (*)
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT;
то его можно переписать так
(AK/KB)*(BM/MC)*(CT/AT) = 1;
или (AK*BM*CT)/(KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая.
PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое.
1). По свойству двух пересекающихся хорд АN×NВ=СN×ND; (NВ+10)×NВ=14×16,5;
NВ²+10NВ=231. Далее решаем обычное квадратное уравнение(NВ²+10NВ-231=0)
через дискриминант. В результате получаем, что NВ=11, тогда АN=11+10=21, а вся хорда АВ=21+11=32.
2) Смотри решение по рисунку. Треугольники СNС1 и DND1 подобны по первому признаку(угол СNС1=DND1 как вертикальные, DСС1=DD1С1 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Имеем:
NC1 - это радиус(r)-ОN, а D1N - это r+ON
Подставим вместо обозначений числа(где можно):
(r-13)(r+13)=16,5×14
r²-169=231
r²=400
r=20
ответ: 32; 20.