Сторона основания правильной треугольной призмы в 2 раза меньше стороны основания правильной треугольной пирамиды. Найти отношение высоты пирамиды к высоте призмы, если их объемы равны.
SB перпендикулярен ( АВС ) AB, ВС принадлежат ( АВС ) Значит, SB перпендикулярен AB и ВС → ∆ ABS , ∆ BCS – прямоугольные
SB перпендикулярен ВС BC перпендикулярен CD, так как в основании пирамиды лежит квадрат Значит, SC перпендикулярен CD по теореме о трёх перпендикулярах → ∆ CDS – прямоугольный
SB перпендикулярен AB AB перпендикулярен AD Значит, SA перпендикулярен АD по теореме о трёх перпендикулярах ∆ ADS – прямоугольный
Из этого следует, что все боковые грани пирамиды являются прямоугольными треугольниками
Рассмотрим ∆ ABS (угол ABS = 90°): cos SAB = AB/ AS AS = AB / cos SAB = 2 / ( 1/2 ) = 4 см
tg SAB = BS / AB BS = AB × tg SAB = 2 × √3 = 2√3 см
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
AB, ВС принадлежат ( АВС )
Значит, SB перпендикулярен AB и ВС →
∆ ABS , ∆ BCS – прямоугольные
SB перпендикулярен ВС
BC перпендикулярен CD, так как в основании пирамиды лежит квадрат
Значит, SC перпендикулярен CD по теореме о трёх перпендикулярах →
∆ CDS – прямоугольный
SB перпендикулярен AB
AB перпендикулярен AD
Значит, SA перпендикулярен АD по теореме о трёх перпендикулярах
∆ ADS – прямоугольный
Из этого следует, что все боковые грани пирамиды являются прямоугольными треугольниками
Рассмотрим ∆ ABS (угол ABS = 90°):
cos SAB = AB/ AS
AS = AB / cos SAB = 2 / ( 1/2 ) = 4 см
tg SAB = BS / AB
BS = AB × tg SAB = 2 × √3 = 2√3 см
Рассмотрим ∆ BCS (угол SBC = 90°):
По теореме Пифагора:
SC² = BS² + BC²
SC² = ( 2√3 )² + 2² = 12 + 4 = 16
SC = 4 см
S бок. пов. = S abs + S bcs + S ads + S cds
S бок. пов. = 1/2 × 2 × 2√3 + 1/2 × 2 × 2√3 + 1/2 × 2 × 4 + 1/2 × 2 × 4 = 2√3 + 2√3 + 4 + 4 = 4√3 + 8 см²
ОТВЕТ: S бок. пов. = ( 4√3 + 8 ) см²
Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.