Пусть в многоугольник с числом сторон N вписана окружность. Конечно, это не любой многоугольник. Но единственное его особое свойство - существует точка, равноудаленная от всех его сторон.
Центр вписанной окружности соединяем с вершинами многоугольника. Теперь многоугольник разрезан на несколько (по числу сторон, для 80-угольника - на 80) треугольников с общей вершиной в центре окружности. В каждом из треугольников высота, проведенная из этой общей вершины - это радиус вписанной окружности r, проведенный в точку касания окружности и стороны. Поэтому площадь треугольника, содержащего сторону многоугольника номер n (обозначим её a(n), n принимает значения от 1 до N, это просто номер стороны :))), равна a(n)*r/2; Складываем площади всех таких треугольников, очевидно получаем для площади многоугольника
S = (a(1) + a(2) + + a(N))*r/2 = P*r/2; где Р = a(1) + a(2) + + a(N); - периметр N-угольника.
Поэтому, единственное ограничение на применение формулы S = (a(1) + a(2) + + a(N))*r/2 = P*r/2; состоит в том, что в N-угольник можно вписать окружность.
Образующая - это, наверно, боковое ребро (она же высота призмы).
Для решения задачи нужно вычислить площадь треугольника со сторонами 35,44,75.
Технически элементарное решение - сосчитать по формуле Герона. Периметр 154, полупериметр 77, 77 - 35 = 42, 77 - 44 = 33, 77 - 75 = 2. Легко видеть, что произведение 77*33*42*2 = (11*3*7*2)^2, откуда площадь основания 462.
(Для того, чтобы лучше понять, как устроен этот треугольник, сделаем следующее интересное построение. Возьмем прямоугольный треугольник со сторонами (21, 72, 75) и от вершины прямого угла вдоль катета 72 отложим 28 и полученную точку соединим с противоположной вершиной. Легко видеть, что треугольник (21, 72, 75) разрезан на два - один со сторонами (35, 44 ,75) и другой со сторонами (21, 28,35), подобный "египетскому". Отсюда высота треугольника (35, 44, 75) к стороне 44 равна 21, и его площадь 462. При таком подходе площадь устно считается :))
Площадь боковой поверхности равна (35 + 75 + 44)*2 = 308; площадь всей поверхности 308 + 2*462 = 1232. Объем 462*2 = 924.
Пусть в многоугольник с числом сторон N вписана окружность. Конечно, это не любой многоугольник. Но единственное его особое свойство - существует точка, равноудаленная от всех его сторон.
Центр вписанной окружности соединяем с вершинами многоугольника. Теперь многоугольник разрезан на несколько (по числу сторон, для 80-угольника - на 80) треугольников с общей вершиной в центре окружности. В каждом из треугольников высота, проведенная из этой общей вершины - это радиус вписанной окружности r, проведенный в точку касания окружности и стороны. Поэтому площадь треугольника, содержащего сторону многоугольника номер n (обозначим её a(n), n принимает значения от 1 до N, это просто номер стороны :))), равна a(n)*r/2; Складываем площади всех таких треугольников, очевидно получаем для площади многоугольника
S = (a(1) + a(2) + + a(N))*r/2 = P*r/2; где Р = a(1) + a(2) + + a(N); - периметр N-угольника.
Поэтому, единственное ограничение на применение формулы S = (a(1) + a(2) + + a(N))*r/2 = P*r/2; состоит в том, что в N-угольник можно вписать окружность.
Образующая - это, наверно, боковое ребро (она же высота призмы).
Для решения задачи нужно вычислить площадь треугольника со сторонами 35,44,75.
Технически элементарное решение - сосчитать по формуле Герона. Периметр 154, полупериметр 77, 77 - 35 = 42, 77 - 44 = 33, 77 - 75 = 2. Легко видеть, что произведение 77*33*42*2 = (11*3*7*2)^2, откуда площадь основания 462.
(Для того, чтобы лучше понять, как устроен этот треугольник, сделаем следующее интересное построение. Возьмем прямоугольный треугольник со сторонами (21, 72, 75) и от вершины прямого угла вдоль катета 72 отложим 28 и полученную точку соединим с противоположной вершиной. Легко видеть, что треугольник (21, 72, 75) разрезан на два - один со сторонами (35, 44 ,75) и другой со сторонами (21, 28,35), подобный "египетскому". Отсюда высота треугольника (35, 44, 75) к стороне 44 равна 21, и его площадь 462. При таком подходе площадь устно считается :))
Площадь боковой поверхности равна (35 + 75 + 44)*2 = 308; площадь всей поверхности 308 + 2*462 = 1232. Объем 462*2 = 924.