Сколько всего диагоналей у двадцатиугольника? 13. (Б) У многоугольника всего 20 диагоналей. Сколько у него сторон?
14. (Б) Разрежьте пятиконечную звезду на пять выпуклых фигур.
15. (А) Диагональ четырехугольника образует равные углы с его
сторонами и . Известно, что = . Докажите, что = .
16. (Б) В четырёхугольнике диагональ делит углы и пополам.
Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
17. (Б) Внутри прямого угла взяли любую точку . Её отразили симметрично
относительно сторон этого угла и получили точки 1 и 2
. Докажите, что
вершина угла лежит на середине отрезка 12
.
18. (Б) В четырёхугольнике стороны и равны. Его диагонали тоже
равны и пересекаются в точке . Докажите, что = .
19. (А) Прямая пересекает две параллельные в точках и . Биссектрисы двух
смежных углов с вершиной в точке при одной из этих прямых пересекают
другую параллельную прямую в точках и . Докажите, что = .
20. (А) В пятиугольнике стороны и параллельны, а углы и
равны 100° и 120° соответственно. Найдите величину угла .

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.. Угол  равен , где  — центр окружности. Его сторона  касается окружности. Найдите величину меньшей дуги  окружности, заключенной внутри этого угла. ответ дайте в градусах.Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол  — прямой. Из треугольника  получим, что угол  равен  градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги  — тоже  градуса.ответ: .. Найдите угол , если его сторона  касается окружности,  — центр окружности, а большая дуга  окружности, заключенная внутри этого угла, равна . ответ дайте в градусах.Это чуть более сложная задача. Центральный угол  опирается на дугу , следовательно, он равен  градусов. Тогда угол  равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол  — прямой. Тогда угол  равен .ответ: .. Хорда  стягивает дугу окружности в . Найдите угол  между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . ответ дайте в градусах.Проведем радиус  в точку касания, а также радиус . Угол  равен . Треугольник  — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол  равен  градуса, и тогда угол  равен  градусов, то есть половине угловой величины дуги .Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.. Через концы ,  дуги окружности в  проведены касательные  и . Найдите угол . ответ дайте в градусах.Рассмотрите четырехугольник . Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна . Углы  и  и  — прямые, угол  равен , значит, угол  равен  градусов.ответ: .. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности: 
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. 
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника  складывается из периметров отсеченных треугольников.ответ: .Все эти задачи встречаются в Банке заданий ФИПИ под номером . А вот одна из сложных задач :. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен. Найдите радиус этой окружности.Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке. 
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку  — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.Соедините точку  с вершинами . Получились треугольники  и . 
Очевидно, что площадь многоугольника . 
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Есть такое свойство - квадрат высоты равен произведению проекций(ну или как-то так, но суть та). Вообщем, 12*3=квадрат высоты треугольника АВС. После несложных подсчётов получаем, что высота равна 6(Думаю, понятно почему). Дале, по Т. Пифагора рассматриваем 2 прямоугольных треугольника, которые образовались. когда провели высоту, к примеру, в точку К.(и при условии, что А - прямой угол) Тогда, 2 треугольника прямоугольны - это АКВ и АКС. По т. Пифагора в первом треугольнике получаем, что АВ равна 6 умноженная на корень из 5, а из второго треугольника получаем, что АС равна 3 умноженная на корень из 5. Ну а СВ понятно - 3+12=15.