Сколько различных треугольников можно составить из
отрезков, длины которых равны 1, 2, 3, 4 и 5?

Дано: Призма ABCA1B1C1, S(полн.)=378, A1B1=14, B1C1=15, A1C1=13.

Найти: AA1, Sбок., V

Решение  .

S(полн.приз.)=2S(осн)+S(бок) ,

                          S(осн)= √( p (p−a) (p−b) (p−c) ) , по формуле Герона ,

                          S(бок)=Р(осн)*h   , h =АА1

Р(осн)=14+15+13=42,  р=21

S(осн)= √( 21 (21−13) (21-14) (21−15) )= √( 21 *8*7* 6)=84  , 2S(осн)=168.

S(бок)=42*АА1.   "Закинем" все в S(полн.приз.)  :

378=168+42*АА1  ,     АА1=5   , h(призмы)=5

S(бок)=42*5=210

V(призмы)= S(осн)* h  ,   V(призмы)=84*5=420

ответ. S(бок)=210 (ед²)   , V(призмы)=420 (ед³)

Объяснение:

1)ΔEFH-равносторонний  треугольник, вписанный в окружность а₃=6√3.  S(равн.тр.)=(а²√3)/4  , S(равн.тр.)=(36*3√3)/4  =27√3.

L=2ПR . В равностороннем  треугольнике, вписанным в окружность, а₃=R√3,   R=6√3:√3=6.

L=2П*6=12П

3) L=(πrα) :180°

,где  L – длина дуги, π = 3,14, r – радиус окружности, α -центральный угол.

L=(π*6*60) :180°= 2π.

S(сектора)= (πr²α) :360°,   S(сектора)= (π*36*60) :360°=6π.

4) S(закраш.)= S(круга)- S(треуг.)

∆ АВС- прямоугольный, т.к. вписанный ∠АСВ опирается на полуокружность в 180° .

Из ∆АВС:   АВ=8 , по свойству угла в 30° ;  

по т.Пифагора АС²=64-16 ,  АС=√48=4√3.

Тогда S(треуг.)=1/2*СА*СВ,

S(треуг.)=1/2*4*4√3=8√3.

Радиус описанной окружности , в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы : r=4.

S(круга)= πr² ,   S(круга)= 16π

S(закраш.)= 16π-8√3.