Угол СМN=90-уголMNC=90-30=60. МС=MN*cos60=6*1/2=3. NC=MN*cos30=6*(корень из 3)/2=3корня из 3. По условию MN средняя линия треугольника АСВ. Тогда MN=1/2*AB. Отсюда АВ=2MN=2*6=12. Треугольники MCN и АСВ подобны по трём углам (общий при вершине и накрест лежащие при основании АВ и MN). Отсюда АС/MC=BC/NC=2. Тогда АС=2МС=2*3=6, ВС=2NC=2*(3 корня из 3)= 6 корней из 3. По теореме Пифагора AN=корень из(АС квадрат+ NC квадрат)= корень из (36+27)=3 корня из 7. Площадь треугольника CMN равна S=1/2*МС*NС=1/2*3*(3 корня из 3)=4,5 корней из 3.
Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Из точки В восстановим перпендикуляр к плоскости альфа ВЕ, соединим Е и Д. Отрезок ЕД это проекция ВД на плоскость альфа. По условию треугольник правильный, то есть равносторонний, тогда ВД=а*(корень из3)/2. Гда а сторона треугольника. По условию угол ЕДВ=30. Отсюда перпендикуляр ЕВ=ВД*sinЕДВ=а*(корень из 3)/2*1/2=а*(корень из 3)/4. Отрезок АЕ это проекция АВ на плоскость альфа. Тогда искомый синус равен sinЕАВ=ЕВ/АВ=((а*корень из3)/4):а=(корень из 3)/4.
Угол СМN=90-уголMNC=90-30=60. МС=MN*cos60=6*1/2=3. NC=MN*cos30=6*(корень из 3)/2=3корня из 3. По условию MN средняя линия треугольника АСВ. Тогда MN=1/2*AB. Отсюда АВ=2MN=2*6=12. Треугольники MCN и АСВ подобны по трём углам (общий при вершине и накрест лежащие при основании АВ и MN). Отсюда АС/MC=BC/NC=2. Тогда АС=2МС=2*3=6, ВС=2NC=2*(3 корня из 3)= 6 корней из 3. По теореме Пифагора AN=корень из(АС квадрат+ NC квадрат)= корень из (36+27)=3 корня из 7. Площадь треугольника CMN равна S=1/2*МС*NС=1/2*3*(3 корня из 3)=4,5 корней из 3.
Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Из точки В восстановим перпендикуляр к плоскости альфа ВЕ, соединим Е и Д. Отрезок ЕД это проекция ВД на плоскость альфа. По условию треугольник правильный, то есть равносторонний, тогда ВД=а*(корень из3)/2. Гда а сторона треугольника. По условию угол ЕДВ=30. Отсюда перпендикуляр ЕВ=ВД*sinЕДВ=а*(корень из 3)/2*1/2=а*(корень из 3)/4. Отрезок АЕ это проекция АВ на плоскость альфа. Тогда искомый синус равен sinЕАВ=ЕВ/АВ=((а*корень из3)/4):а=(корень из 3)/4.