Серединой отрезка называется

Центральный угол АОС опирается на дугу АС, значит градусная мера дуги АС равна 90°. Треугольник ВОС - равнобедренный, т.к. ОВ=ОС=r. Значит, углы при его основании ВС равны между собой:
<OBC=<OCB=15°
Зная сумму углов треугольника, находим угол ВОС:
<BOC=180-<OBC-<OCB=180-15*2=150°
Угол ВОС - центральный и опирается на дугу ВС, значит ВС=150°
Дуга АВ равна 360 - АС - ВС = 360-90-150=120°
Центральный угол АОВ опирается на дугу АВ, значит
<AOB=120°
Треугольник АОВ - равнобедренный, т.к. ОА=ОВ=r. Значит, углы при его основании АВ равны между собой:
<OBA=<OAB=(180-<AOB):2=(180-120):2=30°
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОНВ. Катет ОН, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ОВ. Значит
ОВ=2*ОН=2*6=12 см
r=OB=12 см

Здесь надо рассмотреть 2 прямоугольных треугольника, у которых по одному катету равны (это нормали к параллельным плоскостям).
Обозначим х - длина одного отрезка, у - длина другого.
Составим систему из двух уравнений (1 - по Пифагору, 2 - из условия):
1) х² - 18² = у² - 10²
2) 13х = 15у.  
  х = 15у / 13.    х² = 225у² / 169
Подставим последнее выражение в 1 уравнение:
(225у² / 169) - 18² = у² - 10²
(225у² / 169) -  у² =  - 10² + 18²
(225у² / 169) -  у² = 224
56у² = 37856
у² = 676     у = 26 см,
 х = 15*26 / 13 = 30 см.