Самостоятельная работа по теме «Решение треугольников»
Вариант 1
1. Две стороны треугольника равны 8 см и у72 см, а угол, противолежащий большей из них,
равен 45°. Найдите третью сторону и другие углы этого треугольника.
2. В треугольнике две стороны равны 6 см и 18 см, а угол между ними – 60°. Найдите третью
сторону треугольника.
3. В треугольнике ABC AC = 0,59 дм, ZA = 40°, 2 c = 35°. Найдите остальные элементы
треугольника.
Стороны треугольника равны 7см, 12 см, 109. Найдите угол, противолежащий средней
стороне треугольника.
Пусть O - центр окружности, а Т - середина KN, и PT пересекает LM в точке E. Так как треугольник KPT равнобедренный, есть такая "цепочка" равных углов ∠PLM = ∠PKN = ∠KPT = ∠EPM; откуда ясно, что в треугольнике LMP PE - высота.
То есть - другими словами - получилось, что если через точку P пересечения диагоналей провести прямую перпендикулярно LM, то она пройдет через середину KN - точку T;
Точно так же через точку P можно провести прямую перпендикулярно KN, и она пройдет через середину LM - точку Q.
Легко видеть, что OQPT - параллелограмм. Так как OQ тоже перпендикулярно LM, а OT перпендикулярно KN.
То есть OQ II PT; OT II PQ;
Следовательно OT = PQ = LN/2; (PQ - медиана прямоугольного треугольника LMQ)
r - радиус окружности, вписанной в большой треугольник,
r₁ - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,
r₂ - радиус окружности, вписанной в коричневый треугольник.
Будут использованы формулы:
h² = a₁b₁
a² = a₁c
b² = b₁c
Большой треугольник:
r = (a + b - c)/2 = (√(a₁c) + √(b₁c) - √(c²))/2 = √c·( √a₁ + √b₁ - √c)/2
Синий треугольник:
r₁ = (a₁ + h - a)/2 = (√(a₁)² + √(a₁b₁) - √(a₁c))/2 = √a₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2
Коричневый треугольник:
r₂ = (h + b₁ - b) /2 = (√(a₁b₁) + √(b₁)² - √(b₁c))/2 = √b₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2
r₁/r = √a₁/√c
r₂/r = √b₁/√c
Так как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел.
Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25 (25 = 9 + 16)
Тогда,
r₁/r = 3/5
r₂/r = 4/5
Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.