Самостоятельная работа 4.2
Прямоугольные треугольники
Вариант 1
А1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.
А2. На рисунке РО = ОМ, РКО =МТО = 90о. Докажите, что РК = МТ.
А3. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 12 см, проведена высота СН. Найдите ВН и НА, если А = 30о

Две стороны параллелограмма заданы уравнениями 2x-y+5=0 (это прямая АВ) и x-2y+4=0 (это прямая АД), его диагонали пересекаются в точке О(1,4). Найти длины его высот.

Находим координаты точка А как точки пересечения сторон.

2x-y+5=0 |x(-2)   -4x+2y-10=0

x-2y+4=0               x-2y+4=0    

                           -3x    - 6 = 0,

                               x(A) = -6/3 = -2,

                               y(A) = 2x - 5 = 2*(-2) + 5 = 1.

Находим точку С как симметричную точке А относительно точке пересечения диагоналей (это точка О).

х(С) = 2х(О) - х(А) = 2*1 - (-2) = 4,

у(С) = 2у(О) - у(А) = 2*4 - 1 = 7.

Через точку С проводим прямую, параллельную АД.

Выражаем уравнение АД относительно у: у(АД) = (1/2)х + 2.

Угловой коэффициент параллельной прямой сохраняется.

у(ВС) = (1/2)х + в. Подставим координаты точки С.

7 = (1/2)*4 + в, откуда находим в = 7 - 2 = 5.

Уравнение ВС: у = (1/2)х + 5.

Находим координаты точки В кк точки пересечения АВ и ВС.

2х + 5 = (1/2)х + 5, отсюда следует х = 0, у = 5.

Координаты точки Д находим как симметричную точке В относительно точки О: х(Д) = 2*1 - 0 = 2, у(Д) = 2*4 - 5 = 3.

Находим длины сторон.

AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) =   20 4,472135955

BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) =   20 4,472135955

CD = √((xD-xC)² + (yD-yC)²) =   20 4,472135955

AD = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   20 4,472135955 .

Находим длины диагоналей.

AC  = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   72 8,485281374

BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) =   8 2,828427125 .

Как видим, это ромб.

Его площадь S = (1/2)*AC*BD = (1/2)*V72*V8 = 12.

Высоты равны h = S/a = 12/V20 = 12/(2V5) = 6V5/5.

1. ΔBAD=ΔDCB - прямоугольные (по условию), равны по катету AB=CD и гипотенузе BD - общая сторона.

2. ΔКТМ=ΔКТN - прямоугольные (по условию), равны по двум катетам MT=TN (по условию), KT - общий катет.

3. ΔPKS=ΔRKS - прямоугольные, так как ∠PKS=∠RKS (по условию) - смежные, значит ∠PKS=∠RKS=90°. Треугольники равны по общему катету KS и острому углу ∠KPS=∠KRS (по условию).

4. ΔERF=ΔESF - прямоугольные (по условию), равны по общей гипотенузе EF и острому углу ∠REF=∠SEF (по условию).

5. ΔSPM=ΔTKM - прямоугольные (по условию), равны по катету SP=KT (по условию) и гипотенузе SM=TM (по условию).

ΔRPM=ΔRKM - прямоугольные, равны по катету РМ=КМ (из равенства ΔSPM=ΔTKM) и общей гипотенузе RM.

Объяснение:

Если это та задача.