SABCD - правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой
равны 3√2. Точка T -середина ребра SС, точка М лежит на
прямой BC так, что точка В — середина отрезка МС. Через точки A,
T, M проведена плоскость. Найдите сумму квадратов длин всех
сторон сечения пирамиды плоскостью ATM.

В сечении - четырёхугольник АКТЕ, симметричный относительно диагонали АТ.

Применим теорему Менелая.

(СМ/ВМ)*(ВК/KS)*(ST/TC) = 1.

(6√2/3√2)*(BK/KS)*((3√2/2)/(3√2/2)) = 1.

Отсюда получаем отношение (BK/KS) = 1/2.

Тогда KS = (2/3)BS = (2/3)*(3√2) = 2√2.

Теперь в треугольнике STK имеем 2 стороны и знаем угол в 60 градусов. По теореме косинусов:

TK = √((3√2/2)² + (2√2)² - 2*(3√2/2)*(2√2)*cos 60) = √((9/2) + 8 - 6) = √(13/2).

Аналогично АК = √((√2)² + (3√2)² - 2*(√2)*(3√2)*cos 60) = √(2 + 18 - 6) = √14.

Отрезки ТЕ и ЕА равны √(13/2) и √14.

Сумма квадратов 2*(13/2) + 2*14 = 13 + 28 = 41.