С росписоным ришениям.

1. Сторона квадрату дорівнює 4см, а сторона рівновеликого йому прямокутника – 8см. Знайти другу сторону прямокутника.

2. Знайти площу ромба, сторона якого дорівнює 2√2 см, а один з його кутів дорівнює 45˚.

3. В прямокутному трикутнику висота, що проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 16см і 9см. Обчисліть площу трикутника.

4. В паралелограмі бісектриса гострого кута, який дорівнює 60˚, ділить сторону на відрізки 33см і 55см, починаючи від вершини тупого кута. Знайти площу і периметр паралелограму.

5. Точка дотику кола, вписаного в рівнобічну трапецію, ділить бічну сторону у відношенні 9:4. Обчисліть периметр і площу трапеції, якщо довжина вписаного в неї кола дорівнює 24π см.

Даны стороны треугольника АВС: а=18, b=15 и с=12.
Найти длину биссектрисы угла А.
Решение.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла.
То есть ВН/НС=12/15 = 4/5.  => ВН=8, НС=10.
<BAH=<CAH (АН - биссектриса).
Тогда по теореме косинусов:
Cos(A/2) =  (АН²+12² - 8²)/(2*АН*12) - из треугольника ВАН.  (1)
Cos(A/2) =  (АН²+15² - 10²)/2*АН*15) - из треугольника САН.  (2)
Приравняем (1) и (2):
(АН²+125)/30АН = (АН²+80)/24АН  =>  4(АН²+125)=5(АН²+80) =>
АН²=100.  АН=10.
ответ: биссектриса АН=10.

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.
Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты). 
Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол. 
Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.
 Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части.
Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.