с геометрией! Дан равносторонний треугольник со сторонами, равными 4. Через одну из его сторон проведена плоскость a под углом 30 градусов к плоскости этого треугольника. Найдите площадь проекции треугольника на плоскость a.

(допустим)
Дано:
∠AMK = 45°  ;  || ∠AMH ||
∠AKM = 60°  ;  || ∠AKH  ||
AH  ⊥ a    ;        || ∠AHM=∠AHK =90° ||
 ( K, M , H ∈ a ) ;   
AH =6 см .

AM -? , AK- ? , MK -?

Из  ΔAHM:  MH = AH =6 см (т.к. ∠MAH =90°-∠AMK =90°- 45°=45°⇒MH=AH) 
и  AM  =√ (MH² + AH²) =√(2AH²)=AH√2 =6√2 см  (теореме Пифагора).
---
Из  ΔKAH :  ∠KAH =90°-∠AKH = 90°- 60°=30° ⇒
HK =AK/2(катет против острого угла 30° )
По теореме Пифагора :
AH=√(AK² - HK²) =√(AK² - AK² /4) =(AK√3)/2⇒
AK=2*AH/√3=2*6/√3 =4√3 (см) 
HK =AK/2  =2√3 см . 

Если :
a)
M  и K  лежат  разные стороны от AH  (наверно) :
MK = MH +HK = (6 + 2√3 ) см  
b)
M  и K лежат по одну  сторону  от AH :
MK = MH -HK =(6 - 2√3 ) см .

ответ:  AM =6√2 см ; AK=4√3 см ; MK = (6 ± 2√3) см .

Площадь четырехугольника можно найти половиной произведения диагоналей, умноженного на синус любого угла между ними (т.к.синусы смежных углов равны).

S=d1•d2•sin α:2, где d1 и d2 - диагонали ( они у прямоугольника равны),  α - угол между диагоналями. 

 Прямоугольник - четырехугольник, и его площадь тоже можно найти через диагонали. 

 Наибольшим синус угла между диагоналями  будет  у квадрата, т.к. его диагонали пересекаются под прямым углом, синус которого равен 1. 

а) S1=11²•1:2 =121:2=60,5 см²

б) S2=3²•1:2=4,5  дм²