Розв'язання 1) Точка N за умовою поділяє відрізок мк на дві частини
MN i NK, тоді за основною властивістю вимірювання
відрізків можемо знайти довжину відрізка мк.
2) Оскільки 1 см =
10 мм, то
Відповідь:​

АВС - прямоугольный треугольник, угол В = 90 градусов, угол С = 60 градусов, АВ и ВС - катеты, АС - гипотенуза. угол А + угол В + угол С = 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника); угол А + 90 + 60 = 180; угол А = 180 - 150; угол А = 30 градусов. Против угла 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы, тогда: ВС = АС/2. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42. Меньшим катетом в АВС является катет ВС, потому что на него опирается меньший угол А, поэтому: АС + ВС = 42 см. Получаем систему уравнений: ВС = АС/2; АС + ВС = 42. Подставим первое выражение во второе вместо ВС и найдем длину гипотенузы АС: АС + АС/2 = 42; (2АС + АС) / 2 = 42; 3АС / 2 = 42; 3АС = 84; АС = 84 / 3; АС = 28 см. ответ: АС = 28 см.

Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 259) и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М с продолжением стороны АВ. Так как ВК — биссектриса угла ABC, то . Далее,  как соответственные углы при параллельных прямых, и  как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда  и поэтому  — равнобедренный, откуда . По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем  а ввиду  получим , что и требовалось доказать.