смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.
свойство смежных углов:
· сумма смежных углов равна 180 градусам.
вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.
свойство вертикальных углов:
· вертикальные углы равны.
перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.
перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.
теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.
треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.
виды треугольников:
· остроугольный треугольник – все три угла острые;
· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;
· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.
равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.
свойства равных треугольников:
· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;
· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.
признаки равенства треугольников:
1. если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
2. если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
3. если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.
медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.
высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.
равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.
свойства равнобедренного треугольника:
· углы при основании равны;
· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
свойства равностороннего треугольника:
· углы равны по 60 градусов;
· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.
параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.
виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:
· накрест-лежащие;
· соответственные;
· односторонние.
свойства параллельных прямых:
· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.
признаки параллельности прямых:
· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.
следствия из аксиомы:
· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;
· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.
теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.
свойство внешнего угла треугольника:
· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол и наоборот, напротив большего угла лежит большая сторона.
теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.
свойства прямоугольного треугольника:
· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;
· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;
· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.
Progress Cheek 1 I variant 1.Complete the sentences in past perfect 1. When I came home, mother already (to cook) dinner. 2. When father returned from work, we already (to do) our homework. 3. When the teacher entered the classroom, the pupils already (10 open) their books. 4. Kate gave me the book which she (to buy) the day before 5. Nick showed the teacher the picture which he (to draw). 6. The boy gave the goats the grass which he (to bring) from the ficld 2. Write the sentences in the interrogative form and make general and who-questions. 1. Rose had written the letter by 7 о'clock yesterday. 2 Mrs Rogers had cooked the dinner by 6 о'clock last Sunday. 3. Jane and Ann had built the toy house by four o'clock yesterday. 3. Choose the right words to complete the sentences. 1) That day Jane felt so sad ahe could (ery/smile). 2) The puplls (ended/ finished) decorating the hall late in the afternoon. 3) Do you watch matehes of your favourite football (сrеw/teаm) on television? 4) We are playing basketball in the gyт, would you 1ike to joln (- /1in)? 5) No one liked the dish, we thought it was rather (Lasteful/tasteless). 6) In the I variant 1.Compleie the sentences in past рerfect b) hie
· острый угол – от 0 до 90 градусов;
· прямой угол – равен 90 градусам;
· тупой угол – от 90 до 180 градусов;
· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.
смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.
свойство смежных углов:
· сумма смежных углов равна 180 градусам.
вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.
свойство вертикальных углов:
· вертикальные углы равны.
перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.
перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.
теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.
треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.
виды треугольников:
· остроугольный треугольник – все три угла острые;
· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;
· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.
равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.
свойства равных треугольников:
· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;
· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.
признаки равенства треугольников:
1. если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
2. если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
3. если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.
медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.
высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.
равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.
свойства равнобедренного треугольника:
· углы при основании равны;
· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
свойства равностороннего треугольника:
· углы равны по 60 градусов;
· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.
параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.
секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.
виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:
· накрест-лежащие;
· соответственные;
· односторонние.
свойства параллельных прямых:
· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.
признаки параллельности прямых:
· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.
следствия из аксиомы:
· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;
· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.
теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.
свойство внешнего угла треугольника:
· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол и наоборот, напротив большего угла лежит большая сторона.
теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.
свойства прямоугольного треугольника:
· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;
· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;
· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.
признаки равенства прямоугольных треугольников:
Progress Cheek 1 I variant 1.Complete the sentences in past perfect 1. When I came home, mother already (to cook) dinner. 2. When father returned from work, we already (to do) our homework. 3. When the teacher entered the classroom, the pupils already (10 open) their books. 4. Kate gave me the book which she (to buy) the day before 5. Nick showed the teacher the picture which he (to draw). 6. The boy gave the goats the grass which he (to bring) from the ficld 2. Write the sentences in the interrogative form and make general and who-questions. 1. Rose had written the letter by 7 о'clock yesterday. 2 Mrs Rogers had cooked the dinner by 6 о'clock last Sunday. 3. Jane and Ann had built the toy house by four o'clock yesterday. 3. Choose the right words to complete the sentences. 1) That day Jane felt so sad ahe could (ery/smile). 2) The puplls (ended/ finished) decorating the hall late in the afternoon. 3) Do you watch matehes of your favourite football (сrеw/teаm) on television? 4) We are playing basketball in the gyт, would you 1ike to joln (- /1in)? 5) No one liked the dish, we thought it was rather (Lasteful/tasteless). 6) In the I variant 1.Compleie the sentences in past рerfect b) hie