Условие задачи дано с ошибкой: если в основании прямоугольного параллелепипеда квадрат, то диагональ основания составляет с боковой гранью угол 45°, а не 30°. Кроме того, по этим данным невозможно найти высоту прямоугольного параллелепипеда.
Задача встречается в таком виде: Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.
DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда. Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.
Дана треугольная пирамида ABCD, в основании которой равнобедренный треугольник ABC (АС=АВ=15, ВС=18).
DA перпенддикулярно плоскости АВС.
Рассмотрим треугольник DAB-прямоугольный.
DB^2 = DA^2 + AB^2
DB = корень из 306
DC=DB
Проведем перпендикуляр DK в треугольнике CDB.Треугольник CDB-равнобедренный.
СК=КВ=9
Рассмотрим треугольник CKD-прямоугольный.
DK^2 = CD^2 - CK^2
DK=15
Sп.п. = S(CAD) + S(BAD) + S(CDB)
S(CAD) = (DA*AC)/ 2 = (9*15)/2 = 67,5
S(BAD) = S(CAD) = 67,5
S(CDB) = (DK*BC) / 2 = (15*18)/2= 135
Sп.п. = 67,5 + 67,5 + 135=270.
Задача встречается в таком виде:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.
DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.
ΔB₁C₁D: ∠C₁ = 90°,
B₁C₁ = DB₁ · sin30° = 12 · 1/2 = 6 - ребро основания
DC₁ = DB₁ · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3
ΔDCC₁: ∠C = 90°, по теореме Пифагора
СС₁ = √(DС₁² - DC²) = √(108 - 36) = √72 = 6√2 - высота параллелепипеда
V = Sосн·H = 6² · 6√2 = 216√2