1.В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшая диагональ параллелепипеда 13 см. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.
ΔABD равносторонний, т.к. AB = AD и угол А 60°. ⇒ BD = 12 см. ΔBB₁D: ∠B = 90°, по теореме Пифагора BB₁ = √(B₁D² - BD²) = √(169 - 144) = 5 см Sполн = Sбок + 2Sосн = Pосн·BB₁ + 2·AB·AD·sin60° Sполн = 48 · 5 + 2·144·√3/2 = 240 + 144√3 см²
2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6, а угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а боковое ребро 13 см .Найдите высоту пирамиды.
Основание такой пирамиды квадрат. Его диагональ АС = АВ√2 = 10√2 см, ОС = АС/2 = 5√2 см. ΔSOC: ∠O = 90°, по теореме Пифагора SO = √(SC² - OC²) = √(169 - 50) = √119 см
4. Высота прямой призмы равна 10 см, а основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см .Найдите площадь диагонального сечения.
5. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при ребре основания равен 30°, а радиус окружности, описанной около основания равен √2.
SO - высота пирамиды, ОА = √2 - радиус окружности, описанной около основания. ∠SHO = 30°. OA = AB√3/3 ⇒ AB = 3·OA/√3 = √6 Sосн = AB²√3/4 = 6·√3/4 = 3√3/2 OH = OA/2 = √6/2, (медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1) ΔSOH: ∠O = 90° SH = OH/cos30° = √6/2 / (√3/2) = √2 Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 ·3√6 ·√2 = 3√3 Sполн = Sбок + Sосн = 3√3 + 3√3/2 = 9√3/2
1) Площадь сектора прямо пропорциональна величине угла, поэтому искомый угол х меньше 360 град. во столько же раз, во сколько 15п см^2 меньше 36п см^2 (15/36), т.е. х=150
2) Пусть все рёбра по а, тогда площадь основания
.
Высота тетраэдра H, высота боковой грани h и отрезок, соединяющий основания этих высот m (он равен трети медианы основания, т.к. высота тетраэдра падает в центр треугольника) связаны теоремой Пифагора:
ΔABD равносторонний, т.к. AB = AD и угол А 60°. ⇒ BD = 12 см.
ΔBB₁D: ∠B = 90°, по теореме Пифагора
BB₁ = √(B₁D² - BD²) = √(169 - 144) = 5 см
Sполн = Sбок + 2Sосн = Pосн·BB₁ + 2·AB·AD·sin60°
Sполн = 48 · 5 + 2·144·√3/2 = 240 + 144√3 см²
2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6, а угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
SO = 6 - высота. SH - апофема, ∠SHO = 60°
ΔSHO: ∠O = 90°
OH = SO·ctg60 = 6·√3/3 = 2√3
SH = SO/sin60° = 6/(√3/2) = 4√3
ОН - радиус окружности, вписанной в АВС, ОН = АВ√3/2
АВ = 2ОН/√3 = 4
Sосн = АВ²√3/4 = 16√3/4 = 4√3
Sбок = 1/2 Pосн·SH = 1/2·12·4√3 = 24√3
Sполн = Sосн +Sбок = 4√3 + 24√3 = 28√3
3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а боковое ребро 13 см .Найдите высоту пирамиды.
Основание такой пирамиды квадрат. Его диагональ АС = АВ√2 = 10√2 см, ОС = АС/2 = 5√2 см.
ΔSOC: ∠O = 90°, по теореме Пифагора
SO = √(SC² - OC²) = √(169 - 50) = √119 см
4. Высота прямой призмы равна 10 см, а основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см .Найдите площадь диагонального сечения.
Диагонали прямоугольника равны.
ΔАВС: ∠АВС = 90°, по теореме Пифагора
АС = √(АВ² + ВС²) = √(64 + 36) = 10 cм
Диагональное сечение - прямоугольник.
Sacc₁a₁ = AC · CC₁ = 10·10 = 100 см²
5. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при ребре основания равен 30°, а радиус окружности, описанной около основания равен √2.
SO - высота пирамиды, ОА = √2 - радиус окружности, описанной около основания. ∠SHO = 30°.
OA = AB√3/3 ⇒ AB = 3·OA/√3 = √6
Sосн = AB²√3/4 = 6·√3/4 = 3√3/2
OH = OA/2 = √6/2, (медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1)
ΔSOH: ∠O = 90°
SH = OH/cos30° = √6/2 / (√3/2) = √2
Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 ·3√6 ·√2 = 3√3
Sполн = Sбок + Sосн = 3√3 + 3√3/2 = 9√3/2
1) Площадь сектора прямо пропорциональна величине угла, поэтому искомый угол х меньше 360 град. во столько же раз, во сколько 15п см^2 меньше 36п см^2 (15/36), т.е. х=150
2) Пусть все рёбра по а, тогда площадь основания
Высота тетраэдра H, высота боковой грани h и отрезок, соединяющий основания этих высот m (он равен трети медианы основания, т.к. высота тетраэдра падает в центр треугольника) связаны теоремой Пифагора:
m=h/3, т.к. все треугольники равны.
Объём
Всего рёбер 6, значит