Решите Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника. Определи длины сторон треугольника и укажи вид этого треугольника. A(−8;−1), B(−5;−5) и C(−2;−1). AB = ; BC = ; AC = .
Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :) Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) ) Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC; то есть ∠BAC = ∠BA1C; Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому ∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK; следовательно ∠BAC = ∠BMK; и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой. ∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C; BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A); BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C); То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны. коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.
Глубиною,
Тишиною
Невольно создавал
Временной портал
Я сам собою.
Но хотелось,
Чтобы смелость
Опять
Заставляла кровь вскипать,
И снова побеждать,
А то наследство любви,
Что с первых дней у нас в крови,
С улыбкою принять
И снова начать.
Сбивая с толку тьму и мрак,
Зажми судьбу свою в кулак.
Клинком врасплох застанешь врага, ты точно не слабак.
Волю собери!
И не зевай, а в будущие дни зри!
Как кровавый шторм,
Сметай не камнем, так огнём,
Ведь так начертано в твоей судьбе тем самым днём.
Не стереть теперь,
Но в узы гордые поверь.
Мы судьбой
Повязаны одной!
Снова сила
Поразила,
И как сигнал
Крик друга прозвучал.
Судьба шутила.
С новой ролью
Сильной болью
Смирись,
Чувств как прежде не стыдись,
И дальше жить стремись.
Веришь или нет,
Чувства ведут тебя в рассвет.
Сверкая, слепит глаза
Скупая слеза.
Туда, где горы и леса,
Где голубые небеса,
Где наших душ, заблудших во тьме, услышат голоса,
Боль сведя на нет,
сейчас ты будущих минут свет.
Кровь суровей льда.
Горит кровавая звезда.
Лишь твой клинок пройти огонь и холода.
Только ты один,
И для сомнений нет причин.
Лишь в тебя
Поверила судьба.
Дрожь, как судьбы нюанс.
В сердце какой-то дисбаланс
Даст резонанс.
Сбивая с толку тьму и мрак,
Зажми судьбу свою в кулак.
Клинком врасплох застанешь врага, ты точно не слабак.
Волю собери!
И не зевай, а в будущие дни зри!
Как кровавый шторм,
Сметай не камнем, так огнём,
Ведь так начертано в твоей судьбе тем самым днём.
Не стереть теперь,
Но в узы гордые поверь.
Мы судьбой
Повязаны одной!
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK;
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.