АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB, BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x. ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°. ∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится: cos 80° ≈ 0,1736 BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке.
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC треугольника ABC (рис. 33). Докажем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.
По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку OA = OB и OB = OC, поэтому OA = OC. Таким образом, точка O равноудалена от концов отрезка AC и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре b к этому отрезку. Итак, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, и эта точка равноудалена от вершин A, B и C. Теорема доказана.
Замечание. Мы начали доказательство теоремы с того, что обозначили буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC. А верно ли, что прямые a и c пересекаются? Докажем, что это верно.
Проведем через точку B прямые p и q, что p ⊥ AB и q ⊥ BC (рис. 34). Поскольку прямые p и c перпендикулярны к прямой AB, то p || c.
Аналогично доказывается, что q || a. Прямая p пересекает прямую q (в точке B), поэтому она пересекает и параллельную ей прямую a (см. рис. 34); прямая a пересекает прямую p, поэтому она пересекает и параллельную ей прямую c. Итак, прямая a пересекает прямую c, что и требовалось доказать.
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3 / (2√(5 - 4cos80°))
BB₁ = 3x = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) или
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке.
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC треугольника ABC (рис. 33). Докажем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.
По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку OA = OB и OB = OC, поэтому OA = OC. Таким образом, точка O равноудалена от концов отрезка AC и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре b к этому отрезку. Итак, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, и эта точка равноудалена от вершин A, B и C. Теорема доказана.
Замечание. Мы начали доказательство теоремы с того, что обозначили буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC. А верно ли, что прямые a и c пересекаются? Докажем, что это верно.
Проведем через точку B прямые p и q, что p ⊥ AB и q ⊥ BC (рис. 34). Поскольку прямые p и c перпендикулярны к прямой AB, то p || c.
Аналогично доказывается, что q || a. Прямая p пересекает прямую q (в точке B), поэтому она пересекает и параллельную ей прямую a (см. рис. 34); прямая a пересекает прямую p, поэтому она пересекает и параллельную ей прямую c. Итак, прямая a пересекает прямую c, что и требовалось доказать.
Объяснение: