1. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 15 см. Высота равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой поверхности.
Пусть в пирамиде МАВСD AD=BC=6 см, AB=CD=15 см. По условию высота МО=4 см, О - точка пересечения диагоналей основания. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому боковые грани - две пары равных равнобедренных треугольников. S (бок)=2•Ѕ(ВМС):2+2•Ѕ(АМВ):2. Высоты МК и МН боковых граней перпендикулярны сторонам основания, их проекции по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны сторонам основания, параллельны соседним сторонам и равны их половине. ОК=СВ:2=3 см, ОН=АВ:2=8,5 см. Высоты боковых граней - гипотенузы прямоугольных треугольников МОК и МОН и по т.Пифагора МК= 5 см, МН=8,5 см. Ѕ(бок)=5•15+8,5•6=126 см²
—————————————
2. В правильной треугольной призме через боковое ребро перпендикулярно к противоположной боковой грани проведена плоскость. Вычислить полную площадь поверхности призмы, если площадь сечения равна 4,2√3, а сторона основания 6 см.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. По формуле площади правильного треугольника 2•Ѕ(осн)=2•6²•√3/4=18√3 см²
Площадь сечения - площадь прямоугольника со сторонами, равными высоте призмы и высоте основания. Высота основания ∆ АВС CH=AC•sin60°=3√3 см. Из площади сечения высота призмы СС1=4,2√3:3√3=1,4 см. Площадь боковой поверхности Ѕ(бок)=СС1•3•АС=1,4•18=25,2 см² =>
В треуг.АВС проведем медианы( они же высоты) АК,СD,ВР Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота АК делит сторону ВС пополам. ВС=ВК+КС ВК=КС=3:2=1,5 - катет АС=3 - гипотенуза Находим катет АК (теор.Пифагора): АК2=АС2 - КС2 АК2=3*3 - 1,5*1,5 АК=корень из 6,75 АК=2,598 Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1 АО+ОК=3(части) - составляют 2,598 АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732 Рассмотрим треуг.АОМ ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС Находим АМ(теор.Пифагора): АМ2=АО2+ОМ2 Ом=1;АО=1,732; АМ2=1*1+1,732*1,732 АМ=корень из 4 АМ=2 Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому
1. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 15 см. Высота равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой поверхности.
Пусть в пирамиде МАВСD AD=BC=6 см, AB=CD=15 см. По условию высота МО=4 см, О - точка пересечения диагоналей основания. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому боковые грани - две пары равных равнобедренных треугольников. S (бок)=2•Ѕ(ВМС):2+2•Ѕ(АМВ):2. Высоты МК и МН боковых граней перпендикулярны сторонам основания, их проекции по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны сторонам основания, параллельны соседним сторонам и равны их половине. ОК=СВ:2=3 см, ОН=АВ:2=8,5 см. Высоты боковых граней - гипотенузы прямоугольных треугольников МОК и МОН и по т.Пифагора МК= 5 см, МН=8,5 см. Ѕ(бок)=5•15+8,5•6=126 см²
—————————————
2. В правильной треугольной призме через боковое ребро перпендикулярно к противоположной боковой грани проведена плоскость. Вычислить полную площадь поверхности призмы, если площадь сечения равна 4,2√3, а сторона основания 6 см.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. По формуле площади правильного треугольника 2•Ѕ(осн)=2•6²•√3/4=18√3 см²
Площадь сечения - площадь прямоугольника со сторонами, равными высоте призмы и высоте основания. Высота основания ∆ АВС CH=AC•sin60°=3√3 см. Из площади сечения высота призмы СС1=4,2√3:3√3=1,4 см. Площадь боковой поверхности Ѕ(бок)=СС1•3•АС=1,4•18=25,2 см² =>
Ѕ(полн)=(18√3 +25,2) см²
Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота
АК делит сторону ВС пополам.
ВС=ВК+КС
ВК=КС=3:2=1,5 - катет
АС=3 - гипотенуза
Находим катет АК (теор.Пифагора):
АК2=АС2 - КС2
АК2=3*3 - 1,5*1,5
АК=корень из 6,75
АК=2,598
Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1
АО+ОК=3(части) - составляют 2,598
АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732
Рассмотрим треуг.АОМ
ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный
АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС
Находим АМ(теор.Пифагора):
АМ2=АО2+ОМ2
Ом=1;АО=1,732;
АМ2=1*1+1,732*1,732
АМ=корень из 4
АМ=2
Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому