Из пункта А в пункт В ездили через пункт С, причём расстояние АС=13 км, а ВС=6, угол АСВ=70°. Затем пункты А и В соединили прямой дорогой. На сколько км сократился путь из А в В.
Обозначим эти пропорции как 1х, 2х, 5х. Зная, что сумма углов треугольника составляет 180°, составляем уравнение:
х+2х+5х=180
8х=180
х=180÷8
х=22,5°. Первый угол=22,5° Теперь найдём остальные углы:
22,5×2=45° - это второй угол
22,5×5=112,5°- это третий угол
Задача 4:
Пусть угол при основании будет "х", тогда угол вершины будет = х+60. Зная, что сумма всех углов треугольника равна 180°, составляем уравнение:
х+х+(х+60)=180
2х+х+60=180
3х+60=180
3х=180-60
3х=120
х=120÷3
х=40; каждый угол при основании =40°; угол вершины=40+60=100°
Задача с треугольником 1:
В прямоугольном треугольнике угол А= 180-90-30=60°, угол А=60°
Так как катет АВ лежит напротив угла С, который =30°, то АВ= половине гипотенузы, значит гипотенуза АС в 2 раза больше АВ, из этого следует что АС= 11×2=22(см). Итак: АС=22см; угол А=60°
Задача с треугольником 2
Рассмотрим ∆ЕСК. Если медиана КР является ещё и высотой, значит этот треугольник равнобедренный и КР будет также и биссектрисой, которая разделит угол К пополам, и каждый угол будет по 45°. Если он равнобедренный, то КС=КЕ=14см. Найдём по теореме Пифагора гипотенузу ЕС:
14²+14²=196+196=√196×√2=14√2. ЕС=14√2см
Так как медиана КР делит сторону пополам, и являясь биссектрисой, делит угол, то ∆КЕР=∆КСР; стороны ЕР=РС=КР = 14√2÷2=7√2; КР=7√2(см)
1. По заданным катетам а и b определить биссектрису прямого утла.
Решение.
S S S ; ∆ABC = ∆BCD + ∆ACD
sin 45 ; 2
1 sin 45
2
1
2
1 = ° + ° ab alc blc
ab l sin 45 (a b); = c ° +
( ) . 2
sin 45 a b
ab
a b
ab lc + = + ° =
2. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
Решение.
5
4 = c
b (на основании свойства биссектрисы внутреннего
угла треугольника).
Но ; 81 2 2
c − b =
12,
5
4
81, 2 2
⇒ =
=
− =
b
c
b
c b
9 12 54 см . 2
1
2
1 S 2 = ab = ⋅ ⋅ =
3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и
вписанного в него кругов.
Решение.
Известно, что в прямоугольном треугольнике
. 2
1
a + b = 2R + 2r, S = ab
Возведем в квадрат:
2 ( ) 2 2 , 4S 4( ) , 2 2 2 2 2
a + b + ab = R + r c + = R + r
но 2 , 4 4S 4( ) , S 2 . 2 2 2
c = R R + = R + r = Rr + r
4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник
на два треугольника с площадями 384 и 216 см2
. Найти гипотенузу.
Решение.
, 2
1
2
1 c ab = ch
, 2 600 1200
hc hc hc
ab
c = ⋅ = =
216 384. 4
1
384, 2
1
216, 2
1
2 = ⋅
=
=
×
c c c
c c
c c
a b h
b h
a h
Но 216 384, 4
1 , , 2 4 = = = ⋅ hc acbc hc acbc hc
50 см. 24
1200 4 6 66 6 4 4 4, 4 6 24, 4 hc = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ hc = ⋅ = c = =
5. В треугольнике известны длины двух сторон — 6 и 3 см. Найти длину третьей
стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.
Решение.
а=6см, b=3см, , 2 , 2 c a b c
a b h h h h h h = + = +
, 4. 2
3
1
6
1 , 1 1 2 , 2S 2 2S 2S
+ = + = + = c = a b c a b c c
6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если
известны площади ее частей, прилежащих к основаниям S1 и S2.
Решение.
1. S3 = S4 (доказать самостоятельно).
2. sin α, 2
1 S1 = BM ⋅ MC ⋅
sin α, sin( ) 180 α sin α, 2
1 S2 = AM ⋅ MD ⋅ ° − =
sin α. 4
1 S S 2
1 2 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅
3. sin α, 2
1 S3 = AM ⋅ BM ⋅ sin α, 2
1 S4 = CM ⋅ MD ⋅
sin α S S S S , 4
1 S S 1 2 3 4
2
3 4 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅ ⇒ =
S S S S , S S S 2 S S ( S S ) .
2
3 = 4 = 1 2 ABCD = 1 + 2 + 1 2 = 1 + 2
7. Стороны треугольника 13, 14, 15см. Определить площадь и радиусы описанной (R) и
вписанной (r) окружностей.
Решение.
( )( )( ) 21, 2
13 14 15
2
S , = + + = + + = − − − = a b c
p p a p b p c p
S 21 8 7 6 3 7 2 2 2 7 2 3 2 2 3 7 84с ,
2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = м
м
p
r
abc R 4с
21
S 2 2 3 7
см 8
65
4 2 2 3 7
13 14 15
4S = ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = =
8. По трем высотам треугольника ha, hb, hc вычислить его площадь.
Решение.
S = p( )( )( ) p − a p − b p − c =
= + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + + = 2 2 2 2
a b c b c a a c b a b c
=
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
S S S S S S S S S S S S
, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S2
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S
1
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S
2
1 −
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
Обозначим эти пропорции как 1х, 2х, 5х. Зная, что сумма углов треугольника составляет 180°, составляем уравнение:
х+2х+5х=180
8х=180
х=180÷8
х=22,5°. Первый угол=22,5° Теперь найдём остальные углы:
22,5×2=45° - это второй угол
22,5×5=112,5°- это третий угол
Задача 4:
Пусть угол при основании будет "х", тогда угол вершины будет = х+60. Зная, что сумма всех углов треугольника равна 180°, составляем уравнение:
х+х+(х+60)=180
2х+х+60=180
3х+60=180
3х=180-60
3х=120
х=120÷3
х=40; каждый угол при основании =40°; угол вершины=40+60=100°
Задача с треугольником 1:
В прямоугольном треугольнике угол А= 180-90-30=60°, угол А=60°
Так как катет АВ лежит напротив угла С, который =30°, то АВ= половине гипотенузы, значит гипотенуза АС в 2 раза больше АВ, из этого следует что АС= 11×2=22(см). Итак: АС=22см; угол А=60°
Задача с треугольником 2
Рассмотрим ∆ЕСК. Если медиана КР является ещё и высотой, значит этот треугольник равнобедренный и КР будет также и биссектрисой, которая разделит угол К пополам, и каждый угол будет по 45°. Если он равнобедренный, то КС=КЕ=14см. Найдём по теореме Пифагора гипотенузу ЕС:
14²+14²=196+196=√196×√2=14√2. ЕС=14√2см
Так как медиана КР делит сторону пополам, и являясь биссектрисой, делит угол, то ∆КЕР=∆КСР; стороны ЕР=РС=КР = 14√2÷2=7√2; КР=7√2(см)