В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу. Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0. Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0. Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0. у + 4 + 7х - 35 = 0, АС: 7х + у - 31 = 0. Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом: у = -7х + 31.
В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х". Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали. Используем формулу тангенса суммы (разности) углов: . Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:
Теперь переходим к уравнениям сторон. У параллельных прямых коэффициент к одинаков. Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД. Алгоритм решения : 1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД. 2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата. 3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.
1) Уравнение АС найдено. 2) ВД: х - 7у - 8 = 0 -7х + 49у + 56 = 0 АС: 7х + у - 31 = 0 7х + у - 31 = 0 -------------------------- 50у + 25 = 0 у = -25 / 50 = -1/2. х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5. Получили координаты точки К(4,5; -0,5).
Биссектриса делит угол на две равные части, а у нас биссектриса прямого угла, значит она делит этот угол на два по 45° (90/2=45) Теперь рассмотрим один из двух треугольников, которые образовались после того, как была проведена биссектриса: в этом треугольнике нам известны два угла: 50° и 45°, а сумма углов треугольника 180°, значит можно найти и третий: 180-50-45=85° - это один из углов, образованных гипотенузой и биссектрисой прямого угла, а второй также можно найти: 180-85=95° ответ: получились углы 85° и 95°
Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0.
Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0.
Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0.
у + 4 + 7х - 35 = 0,
АС: 7х + у - 31 = 0.
Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом:
у = -7х + 31.
В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х".
Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали.
Используем формулу тангенса суммы (разности) углов:
Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:
Теперь переходим к уравнениям сторон.
У параллельных прямых коэффициент к одинаков.
Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД.
Алгоритм решения :
1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД.
2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата.
3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.
1) Уравнение АС найдено.
2) ВД: х - 7у - 8 = 0 -7х + 49у + 56 = 0
АС: 7х + у - 31 = 0 7х + у - 31 = 0
--------------------------
50у + 25 = 0
у = -25 / 50 = -1/2.
х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5.
Получили координаты точки К(4,5; -0,5).
3) Хс = 2Хк - Ха = 2*4,5 - 5 = 9 - 5 = 4.
Ус = 2Ук - Уа = 2*(-0,5) - (-4) = -1 + 4 = 3.
Уравнения сторон:
АВ: -4 = (-3/4)*5 + в в = -4 + (15/4) = (-16/4) + (15/4) = -1/4.
АВ: у = (-3/4)х - (1/4).
СД: 3 = (-3/4)*4 + в в = 3 + (12/4) = 3 + 3 = 6.
СД: у = (-3/4)х + 6.
АД: -4 = (4/3)*5 + в в = -4 - (20/3) = (-12/3) - (20/3) = -32/3
АД: у = (4/3)х - (32/3).
ВС: 3 = (4/3)*4 + в в= 3 - (6/3) = (9 - 16)/3 = -7/3.
ВС: у = (4/3)х - (7/3).
Теперь рассмотрим один из двух треугольников, которые образовались после того, как была проведена биссектриса: в этом треугольнике нам известны два угла: 50° и 45°, а сумма углов треугольника 180°, значит можно найти и третий: 180-50-45=85° - это один из углов, образованных гипотенузой и биссектрисой прямого угла, а второй также можно найти: 180-85=95°
ответ: получились углы 85° и 95°