Решить задачу. Две прямые вращаются вокруг неподвижных точек с одинаковой угловой скоростью в одинаковых или противоположных направлениях. Какую линию описывает в каждом случае точка пересечения прямых?
Подсказка. Если прямые вращаются в одинаковых направлениях, то это планиметрическая задача из куса средней школы. Второй случай более интересен. Можно решить координатным методом, ввести систему координат и получит уравнение линии. Более решение может быть получено с использованием методов проективной геометрии. Здесь мы имеем два проективных пучка прямых с центрами в данных неподвижных точках.
Чертеж во вложении.
Точка О делит диагональ ВД на отрезки ВО и ОД.
Пусть ВО=х, тогда ОД=28-х
Также пусть АД=у.
Из подобия ∆ВОС и ∆АОД следует:
\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{DO}=\frac{OC}{AO}\ = > \frac{6}{y}=\frac{x}{28-x}=\frac{5}{9}
AD
BC
=
DO
BO
=
AO
OC
=>
y
6
=
28−x
x
=
9
5
Из первого и третьего отношений найдем у:
\frac{6}{y}=\frac{5}{9} = > y=\frac{6*9}{5}=10,8=AD
y
6
=
9
5
=>y=
5
6∗9
=10,8=AD
Из второго и третьего найдем х:
\begin{gathered}\frac{x}{28-x}=\frac{5}{9}\ = > 9x=140-5x\ = > x=10\\ BO=10,\ OD=28-10=18\end{gathered}
28−x
x
=
9
5
=>9x=140−5x =>x=10
BO=10, OD=28−10=18
Чертеж во вложении.
Точка О делит диагональ ВД на отрезки ВО и ОД.
Пусть ВО=х, тогда ОД=28-х
Также пусть АД=у.
Из подобия ∆ВОС и ∆АОД следует:
\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{DO}=\frac{OC}{AO}\ = > \frac{6}{y}=\frac{x}{28-x}=\frac{5}{9}
AD
BC
=
DO
BO
=
AO
OC
=>
y
6
=
28−x
x
=
9
5
Из первого и третьего отношений найдем у:
\frac{6}{y}=\frac{5}{9} = > y=\frac{6*9}{5}=10,8=AD
y
6
=
9
5
=>y=
5
6∗9
=10,8=AD
Из второго и третьего найдем х:
\begin{gathered}\frac{x}{28-x}=\frac{5}{9}\ = > 9x=140-5x\ = > x=10\\ BO=10,\ OD=28-10=18\end{gathered}
28−x
x
=
9
5
=>9x=140−5x =>x=10
BO=10, OD=28−10=18