Мы касаемся в этой задаче очень интересного круга задач, связанных с треугольником, у которого один из углов равен 60°. Оказывается, у такого треугольника (хотя в этой задаче это и не потребуется), центр описанной окружности, центр вписанной окружности, ортоцентр (то есть точка пересечения высот), а также две вершины лежат на одной окружности, которая получается из описанной симметрией относительно стороны треугольника.
Возвращаемся к нашей задаче. Вспоминаем формулу, по которой ищется угол между биссектрисами двух углов треугольника. Он равен 90°+ половина третьего угла (доказывается это очень просто, если Вы знаете, чему равна сумма углов треугольника, Вы с этой задачей справитесь). В нашем случае угол между биссектрисами AA_1 и BB_1 будет равен 90+30=120°. Замечаем, что ∠A_1HB_1+∠C=180° ⇒ вокруг четырехугольника CA_1HB_1 можно описать окружность. Остается вспомнить, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке ⇒CH делит угол A_1CB_1 пополам, а тогда дуги, на которые опираются эти половинки, равны, а тогда и хорды A_1H и B_1H равны, что и требовалось.
Рассмотрим ΔABC. Так как ∠А=∠В, ΔABC-равнобедренный. По теореме о сумме углов треугольника: ∠С=180°-∠А-∠В=180°-90°=90°, т.е. ΔABC-прямоугольный. Расстоянием от точки С до прямой АВ является высота СD. Так как в равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой то ∠С разделен пополам, ∠BCD=∠ACD=45°, тогда ΔBCD-равнобедренный прямоугольный. Следует, BD=CD=AB/2=19 см/2=9,5 см. BC=AC (ΔABC-равнобедренный). По теореме Пифагора: BC^2=BD^2+CD^2=90,25 см^2+90,25 cм^2=180,5 cм^2; ВС=√180,5 см^2=9,5√2 см.
Возвращаемся к нашей задаче. Вспоминаем формулу, по которой ищется угол между биссектрисами двух углов треугольника. Он равен 90°+ половина третьего угла (доказывается это очень просто, если Вы знаете, чему равна сумма углов треугольника, Вы с этой задачей справитесь). В нашем случае угол между биссектрисами AA_1 и BB_1 будет равен 90+30=120°. Замечаем, что ∠A_1HB_1+∠C=180° ⇒ вокруг четырехугольника CA_1HB_1 можно описать окружность. Остается вспомнить, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке ⇒CH делит угол A_1CB_1 пополам, а тогда дуги, на которые опираются эти половинки, равны, а тогда и хорды A_1H и B_1H равны, что и требовалось.
Так как ∠А=∠В, ΔABC-равнобедренный.
По теореме о сумме углов треугольника: ∠С=180°-∠А-∠В=180°-90°=90°, т.е. ΔABC-прямоугольный.
Расстоянием от точки С до прямой АВ является высота СD.
Так как в равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой то ∠С разделен пополам, ∠BCD=∠ACD=45°, тогда ΔBCD-равнобедренный прямоугольный. Следует, BD=CD=AB/2=19 см/2=9,5 см.
BC=AC (ΔABC-равнобедренный).
По теореме Пифагора: BC^2=BD^2+CD^2=90,25 см^2+90,25 cм^2=180,5 cм^2; ВС=√180,5 см^2=9,5√2 см.